Frage bezüglich der Bindung von Quantoren

Question

ich habe folgende zwei Aufgaben und weiß nicht genau, wie es sich mit der Bindung verhält bzw. was das Auflösen der Implikationen genau verändert.

1. ∃z(∀x(P (x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z))

Ist: ∃z(¬∀x(¬P (x)  v ∃yQ(y)) v ∀xS(z)), oder kommt die Negation vor den ersten Existenzquantor?

2. ∃z∀x(P (x) → ∃yQ(y)) → ∀xS(z)

Welche der beiden Formen wäre hier korrekt?

 ¬∃z∀x(¬P (x) v ∃yQ(y)) v ∀xS(z) oder ∃z¬∀x(¬P (x) v ∃yQ(y)) v ∀xS(z)?

Answer 1

Die Formel

        A → B

ist äquivalent zu der Formel

        ¬A ∨ B.

Das gilt auch dann, wenn A die Formel P(x) und B die Formel ∃yQ(y) ist. Deshalb ist

        P(x) → ∃yQ(y)

äquivalent zu

        ¬P(x) ∨ ∃yQ(y).

oder kommt die Negation vor den ersten Existenzquantor?

Welche der zwei Nagtionen meinst du?

Comments

Vielen Dank erstmal für Deine Antwort!

Soweit wäre das auch verständlich. Die Frage ist eigentlich allg. wie sich das Auflösen der ersten Implikation bei diesen beiden Formeln unterscheidet, weil beim einen ja die Klammer wegfällt.

∃z∀x( P (x) → ∃yQ(y) ) v ∀nS(z) nach Deiner Erklärung kommt hier die Negation vor das P(x), korrekt?

Ändert sich hier: ∃z∀x P (x) → ∃yQ(y) v ∀nS(z) beim Weglassen der Klammer, die Negation? Ich habe häufig gesehen, dass die Negation nicht mehr vor das P(x) kommt, sondern vor die Quantoren (weil der Quantor stärker bindet?!). 

Also ist

∃z∀x P (x) → ∃yQ(y) v ∀nS(n)

äquivalent zu

∃z¬∀x P (x) v ∃yQ(y) v ∀nS(n)

oder

¬∃z∀x P (x) v ∃yQ(y) v ∀nS(n).

Ich hoffe, ich konnte meine Frage etwas verständlicher formulieren! Und Danke nochmal für Deinen Beitrag!