Wie werden Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen gelöst?

Question

Aufgabe:

Der Großhandel verkauft monatlich 600 Uhren zu einem Stückpreis von 50 Euro. Die Marketingabteilung hat herausgefunden, dass eine Preissenkung zu einer dazu proportionalen Absatzerhöhung führen würde, und zwar je 1 Euro Preissenkung 20 mehr verkaufte Uhren.

Bestimme den Preis, der die maximalen Einnahmen ergibt.

Problem/Ansatz:

habe folgende Funktion in Abhängigkeit von der Preisänderung in Euro :

f ( x ) = ( 50 - x ) ( 600 + 20 x )

Nullstellen : -30 , 50

Wie bestimme ich nun den Preis , der die maximalen Einnahmen ergibt?????

L.G

Answer 1

----------------------------- gelöscht

Comments

Ja, aber wie komme ich rechnerisch auf x= 10?

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Ableiten, gleich Null setzen, nach x auflösen.

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Oder in Scheitelpunktform umwandeln.

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Sorry, ich verstehe das nicht.

Lieber Abakus,

 würdest du dir die Mühe machen und mir den Lösungsweg Schritt für Schritt aufschreiben ?

Bis zum Schritt -30 und 50 ist es für mich verständlich, dann aber verstehe ich es nicht :-(

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Die Extremstelle einer quadratischen Funktion liegt genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen. Genau in der Mitte zwischen -30 und 50 liegt 10.

Der Weg über die Scheitelpunktform:

(50-x)(600+20x)=-20x²+400x+30000

=-20(x²-20x-1500)

=-20(x²-20x+100-1600)
=-20((x-10)²-1600)

=-20(x-10)²+32000

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Jetzt :-) :-) kapiert.

1000 Dank Abakus

Answer 2

Die Nachfragefunktion lautet q = -20p + 1600

Die Umsatzfunktion (Menge q mal Preis p) lautet u = -20p² + 1600p

Das Maximum ist bei p = 40.

Comments

Dankeschön vorab .

Aber wie komme ich von -30 und 50 auf das Maximum 10 und 32000?

Wie wird dies gerechnet ?

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Ich verstehe schon Deinen Lösungsansatz nicht. Und woher hast Du 10 und 32000?

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Hallo döschwo,

offensichtlich beschreibt die vom Fragesteller genannte Funktion die erzielten Einnahmen in Abhängigkeit von der Preissenkung x.

Diese Funktion hat ihr Maximum für x=10.

Das entspricht deinem Ergebnis Preis=40, denn 50-10=40.

Mit diesem Preis erzielt man Einnahmen von 32000.

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Ich halte wie gesagt die im Lösungsansatz aufgestellte Funktion für, ehm, etwas haarig. Das geht doch deutlich einfacher.

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Finde ich nicht.

Bisherige Einnahmen: 50*600

Einnahmen bei Preissenkung um x Euro:

(50-x)(600+20x)

Das setzt die Vorgaben der Aufgabenstellung Wort für Wort um.

Answer 3

f ( x ) = ( 50 - x ) ( 600 + 20 x )=(50-x)(30+x)·20

f(x)=0, wenn eine der beiden Klammern Null ist.

50-x=0 → x=50

30+x=0 → x=-30

Quadratische Parabeln sind achsensymmetrisch. Die Achse geht durch den Scheitelpunkt und beide Nullstellen sind gleich weit von der Achse entfernt. Also liegt die Extremstelle bei x=(50-30)/2=10.

f(10)=40·40·20=32000

Wenn der Preis von 50 Euro auf 40 Euro gesenkt wird, sind die Einnahmen maximal, nämlich 32000 Euro statt 30000 Euro bei einem Einzelpreis von 50 Euro.