Darstellungsmatrix berechnen nur durch Basis und andere Darstellungsmatrix

Question

Aufgabe:

Es seien S die Standardbasis von R^3 sowie phi: R^3 -> R^3 und id: R^3 -> R^3 lineare Abbildungen mit den Darstellungsmatrizen

Ds,s(phi) = \( \begin{pmatrix} -5 & 8 & 6 \\ -3 & 5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

und

Ds,s(id) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

(a) Zeigen Sie, dass phi ο phi = id

(b) Zeigen Sie, dass die Menge T1 = {(4,3,0),(1,0,1)} eine Basis von Ker(phi - id) und die Menge T2 = {(2,1,0)} eine Basis von Ker(phi + id) ist

(c)Zeigen Sie, dass T = T1 ∪ T2 eine Basis von R^3 ist

(d) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix Dt,t(phi)

Problem/Ansatz:

(a) Ich könnte mir denken, dass phi ο phi = id ist weil Ds,s(phi) ο Ds,s(phi) = Ds,s(id) ist. Aber warum genau ist das so? Was gibt es zwischen diesen Darstellungsmatrizen und den linearen Abbildungen für einen Zusammenhang?

(b) Kann ich bereits; T1 bzw. T2 mit der jeweiligen Ergebnismatrix von Ds,s(phi - id) bzw. Ds,s(phi + id) multiplizieren und schauen ob der Nullvektor herauskommt. Wenn ja, dann sind sie Basen.

(c) Hab ich auch schon; wenn die T Vektoren linear unabh. sind, dann sind sie per Definition schon im R^3

(d) Hier weiß ich gar nicht weiter. Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen indem ich rechne: Dt,t(phi) = Mt,s * Ds,s(phi), aber das ist falsch, oder?

Answer 1

Aloha :)

Wenn ich dein Posting richtig interpretiere, benötigst du Hilfe bei (a) und (d).

Bei (a) brauchst du einfach nur die Matrix mit sich selbst zu multiplizieren:$$\varphi\circ\varphi=\left(\begin{array}{c}-5 & 8 & 6\\-3 & 5 & 3\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-5 & 8 & 6\\-3 & 5 & 3\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)=\text{id}$$Die Abbildung \(\varphi\) ist also zu sich selbst invers, \(\varphi^{-1}=\varphi\) bzw. \(D_{S,S}^{-1}(\varphi)=D_{S,S}(\varphi)\).

Bei (d) musst du einen Basiswechsel vornehmen:

$$D_{T,T}(\varphi)=M_{T,S}\cdot D_{S,S}(\varphi)\cdot M_{S,T}$$$$\phantom{D_{T,T}(\varphi)}=M_{S,T}^{-1}\cdot D_{S,S}(\varphi)\cdot M_{S,T}$$$$\phantom{D_{T,T}(\varphi)}=\left(\begin{array}{c}4 & 1 & 2\\3 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)^{-1}\cdot \left(\begin{array}{c}-5 & 8 & 6\\-3 & 5 & 3\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4 & 1 & 2\\3 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)$$$$\phantom{D_{T,T}(\varphi)}=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2}\\0 & 0 & 1\\\frac{3}{2} & -2 & -\frac{3}{2}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}4 & 1 & -2\\3 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & -1\end{array}\right)$$

Comments

Achso, ja klar. Jetzt hab ich es verstanden. Mich hat die Tatsache verwirrt, dass statt Dt,t der parameter phi noch verlangt war, also Dt,t(phi).

Answer 2

Was gibt es zwischen diesen Darstellungsmatrizen und den linearen Abbildungen für einen Zusammenhang?

Sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen V und Kⁿ.

Seien V, W endlichdimensionale K-Vektorräume mit Dimension n bzw. m und Basen

        B_V = {v₁, ..., v_n}

von V bzw.

        B_W = {w₁ ..., w_m}

von W. Ferner sei φ eine lineare Abbildung von V nach W. Dann gibt es eine Matrix M ∈ K^m×n, so dass

        φ(∑_i=1..n α_iv_i) = ∑_i=1..m β_iw_i ⇔ M·(α₁ ... α_n)^T = (β₁ ... β_m)^T

für alle α_i, β_i ∈ K ist. Die Matrix M wird Darstellungsmatrix von φ bezüglich der Basen B_V und B_W genannt.