Integralrechnung anwenden

Question

In einem Skigebiet soll ein Standort für einen Rettungshubschrauber
errichtet werden.

Die nördliche Begrenzung des Skigebietes lasse sich durch die Kurve mit der Gleichung x^2 + y^2 = 900 beschreiben, die südliche Begrenzung durch die Parabel mit der Gleichung y =(1/90)x^2 − 10.

Berechnen Sie die Koordinaten des Flugrettungs-Standortes, wenn sich dieser im geometrischen
Schwerpunkt des Skigebietes befinden soll.

Comments

Willst du jetzt wissen, wie die Formel für die Schwerpunktberechnung lautet?

Du scheinst sie selbst zu kennen, sonst hättest du nicht

Integralrechnung anwenden

geschrieben.

Answer 1

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Alternative_Integralformel_f%C3%BCr_Fl%C3%A4chen_im_'%22%60UNIQ--postMath-00000086-QINU%60%22'

ys = ∫(√(900 - x^2)^2 - (1/90·x^2 - 10)^2, x, -30, 30)/∫(2·(√(900 - x^2) - (1/90·x^2 - 10)), x, -30, 30) = 328/(9·pi + 8) = 9.042

Comments

Magst Du mir sagen, wo mein Fehler ist? Ich finde ihn nicht.

---

Du berücksichtigst nur die Größe der Fläche aber nicht den Abstand vom Schwerpunkt.

Es langt also nicht die Fläche in 2 gleiche Teile aufzuteilen.

---

Boing (hohler Klang), danke. Ich habe meinen fehlerhaften Text ausgeblendet.

Answer 2

Gehe vor wie bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Flächenschwerpunkt_einer_Parabel

Dass hier auch x_S=0 herauskommt ist ja klar wegen der Symmetrie.

Für y_S bestimme erst mal A  = 450π + 400 und dann

$$\frac{1}{A}\int_{-30}^{30}\int_{\frac{x^2}{90}-10}^{\sqrt{900-x^2}}y*dy*dx$$

$$=\frac{1}{2A}\int_{-30}^{30}(900-x^2-(\frac{x^2}{90}-10)^2)dx$$

$$=\frac{1}{2A} \int_{-30}^{30}\frac{(900-x^2)*(x^2+7200)}{8100}dx$$

$$=\frac{1}{2A}*32800$$

≈9,04