Aufstellen von Funktionstermen?

Question

Aufgabe:

Der Graph einer quadratischen Funktion geht durch die folgenden Punkte. Bestimmen Sie mit einem passenden Ansatz einen Funktionsterm und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis nachträglich mit dem GTR.

1) Achsenabschnittpunkte N1 (-2|0), N2 (6|0), Y (0|-1,2)

2) Punkt A (-3|1), Punkt B (3|-5), Symmetrieachse des Graphen: x= -1

Answer 1

Aloha :)

1) Wir haben die beiden Nullstellen \((-2|0)\) und \((6|0)\). Die quadratische Gleichung hat daher die Form:$$p(x)=a(x+2)(x-6)$$Den Wert für \(a\) liefert uns der letzte gegebene Punkt \((0|-1,2)\):$$-1,2=p(0)=a\cdot2\cdot(-6)=-12a\quad\Rightarrow\quad a=0,1$$Damit haben wir die Parabel gefunden:$$p(x)=0,1(x+2)(x-6)=0,1(x^2-4x-12)=0,1x^2-0,4x-1,2$$

2) Die Symmetrieachse des Graphen liegt bei \(x=-1\). Daher wählen wir den Ansatz$$p(x)=a(x+1)^2+b$$Wir setzen noch die beiden Punkte \((-3|1)\) und \((3|-5)\) ein:

$$\left.\begin{array}{r}1&=&p(-3)&=&4a+b\\-5&=&p(3)&=&16a+b\end{array}\right\}\;\;\Rightarrow\;\;12a=-6\;\;\Rightarrow\;\;a=-\frac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\;b=3$$Damit haben wir die Parabel fertig:$$p(x)=-\frac{1}{2}(x+1)^2+3=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+3=-\frac{x^2}{2}-x+\frac{5}{2}$$

Answer 2

2) Punkt A (-3|1), Punkt B (3|-5), Symmetrieachse des Graphen: x= -1

Zu jedem Punkt der Parabel gibt es einen Punkt, der durch Spiegelung an der Symmetrieachse entsteht.

Zu A(-3|1) findest du A'(1|1) und zu B(3|-5) den Spiegelpunkt B'(-5|-5). (Zeichne es dir auf, wenn du es nicht verstehst.)

Zur Bestimmung der Funktionsgleichung brauchen wir nur drei Punkte. Wählen wir also die mit den einfachsten Koordinaten.

$$y=ax^2+bx+c$$

$$A(-3|1) \Longrightarrow 1=9a-3b+1c~~~~(1)$$

$$~~~A'(1|1) \Longrightarrow 1=1a+1b+1c~~~~(2)$$

$$B(3|-5) \Longrightarrow -5=9a+3b+1c~~~~(3)$$

Dieses LGS müssen wir lösen. Angucken, nachdenken.

[spoiler]

Die 3. und die 1. Gleichung sehen ähnlich aus.

$$ (3)-(1):~~~-6=6b \Rightarrow b=-1 $$

$$ (2) \Rightarrow 2=a+c ~~~~(4)$$

$$ (3) \Rightarrow -2=9a+c ~~~~(5)$$

$$ (5)-(4):~~~-4=8a \Rightarrow a=-0,5$$

$$ c=2,5$$

$$ y=-0,5x^2-x+2,5$$

[/spoiler]

Answer 3

Hallo,

eine Funktion 2. Grades kann man allgemein darstellen als

\(f(x) = ax^2+bx+c\)

a) Aus den Koordinaten ergibt sich

P₁  (-2|0) ⇒ f(-2) = 0 ⇒ 4a - 2b + c = 0

P₂ (6|0) ⇒ f(6) = 0  ⇒ 36a + 6b + c = 0

P₃ (0|-1,2) ⇒ f(0) = -1,2 ⇒ c = -1,2

Also bleiben noch zwei Gleichungen mit zwei Variablen, die du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen kannst.