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Aufgabe:

Der Graph einer quadratischen Funktion geht durch die folgenden Punkte. Bestimmen Sie mit einem passenden Ansatz einen Funktionsterm und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis nachträglich mit dem GTR.

1) Achsenabschnittpunkte N1 (-2|0), N2 (6|0), Y (0|-1,2)

2) Punkt A (-3|1), Punkt B (3|-5), Symmetrieachse des Graphen: x= -1

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Aloha :)

1) Wir haben die beiden Nullstellen (20)(-2|0) und (60)(6|0). Die quadratische Gleichung hat daher die Form:p(x)=a(x+2)(x6)p(x)=a(x+2)(x-6)Den Wert für aa liefert uns der letzte gegebene Punkt (01,2)(0|-1,2):1,2=p(0)=a2(6)=12aa=0,1-1,2=p(0)=a\cdot2\cdot(-6)=-12a\quad\Rightarrow\quad a=0,1Damit haben wir die Parabel gefunden:p(x)=0,1(x+2)(x6)=0,1(x24x12)=0,1x20,4x1,2p(x)=0,1(x+2)(x-6)=0,1(x^2-4x-12)=0,1x^2-0,4x-1,2

2) Die Symmetrieachse des Graphen liegt bei x=1x=-1. Daher wählen wir den Ansatzp(x)=a(x+1)2+bp(x)=a(x+1)^2+bWir setzen noch die beiden Punkte (31)(-3|1) und (35)(3|-5) ein:

1=p(3)=4a+b5=p(3)=16a+b}        12a=6        a=12        b=3\left.\begin{array}{r}1&=&p(-3)&=&4a+b\\-5&=&p(3)&=&16a+b\end{array}\right\}\;\;\Rightarrow\;\;12a=-6\;\;\Rightarrow\;\;a=-\frac{1}{2}\;\;\Rightarrow\;\;b=3Damit haben wir die Parabel fertig:p(x)=12(x+1)2+3=12(x2+2x+1)+3=x22x+52p(x)=-\frac{1}{2}(x+1)^2+3=-\frac{1}{2}(x^2+2x+1)+3=-\frac{x^2}{2}-x+\frac{5}{2}

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2) Punkt A (-3|1), Punkt B (3|-5), Symmetrieachse des Graphen: x= -1

Zu jedem Punkt der Parabel gibt es einen Punkt, der durch Spiegelung an der Symmetrieachse entsteht.

Zu A(-3|1) findest du A'(1|1) und zu B(3|-5) den Spiegelpunkt B'(-5|-5). (Zeichne es dir auf, wenn du es nicht verstehst.)

Zur Bestimmung der Funktionsgleichung brauchen wir nur drei Punkte. Wählen wir also die mit den einfachsten Koordinaten.

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c

A(31)1=9a3b+1c    (1)A(-3|1) \Longrightarrow 1=9a-3b+1c~~~~(1)

   A(11)1=1a+1b+1c    (2)~~~A'(1|1) \Longrightarrow 1=1a+1b+1c~~~~(2)

B(35)5=9a+3b+1c    (3)B(3|-5) \Longrightarrow -5=9a+3b+1c~~~~(3)

Dieses LGS müssen wir lösen. Angucken, nachdenken.

Die 3. und die 1. Gleichung sehen ähnlich aus.

(3)(1) :    6=6bb=1 (3)-(1):~~~-6=6b \Rightarrow b=-1

(2)2=a+c    (4) (2) \Rightarrow 2=a+c ~~~~(4)

(3)2=9a+c    (5) (3) \Rightarrow -2=9a+c ~~~~(5)

(5)(4) :    4=8aa=0,5 (5)-(4):~~~-4=8a \Rightarrow a=-0,5

c=2,5 c=2,5

y=0,5x2x+2,5 y=-0,5x^2-x+2,5

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Hallo,

eine Funktion 2. Grades kann man allgemein darstellen als

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2+bx+c

a) Aus den Koordinaten ergibt sich

P1  (-2|0) ⇒ f(-2) = 0 ⇒ 4a - 2b + c = 0

P2 (6|0) ⇒ f(6) = 0  ⇒ 36a + 6b + c = 0

P3 (0|-1,2) ⇒ f(0) = -1,2 ⇒ c = -1,2

Also bleiben noch zwei Gleichungen mit zwei Variablen, die du mit einem Verfahren deiner Wahl lösen kannst.

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