Question

Betrachten wir die Basen B : b₁, b₂ und C : c₁, c₂ des R² gegeben durch
b₁ = \( \begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} \),

 b₂ = \( \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix} \)
c₁ = \( \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} \)
c₂ = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \)
,
sowie die lineare Abbildung f : R2 → R2 gegeben durch _CM_B(f) = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)
.
Berechnen Sie die Matrix _EM_C(f), wobei E die Standardbasis e1, e2
ist.

Hallo Leute, ich bereite mich gerade auf meine Lina 1 Klausur vor. LEider fehlt mir bei der folgenden AUfgabe jeglicher Ansatz. könntet ihr mir helfen?

Answer 1

Aloha :)

Folgende Matrizen entnehmen wir der Aufgabenstellung:$${_E}id_B=\left(\begin{array}{c}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)\quad;\quad{_E}id_C=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\-2 & 0\end{array}\right)\quad;\quad{_C}M(f)_B=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)$$Damit erhältst du die gesuchte Matrix wie folgt:$${_E}M(f)_C={_E}id_B\cdot{_B}M(f)_C={_E}id_B\cdot\left({_C}M(f)_B\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 1\\-1 & 1\end{array}\right)^{-1}$$$$\phantom{{_E}M(f)_C(f)}=\left(\begin{array}{c}2 & 3\\3 & 4\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0,5 &-0,5\\0,5 & 0,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2,5 & 0,5\\3,5 & 0,5\end{array}\right)$$