Question

Berechnen Sie die Hauptachsentransformation für die Matrix
A = \( \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)  ∈ M₃(R).

ich bräuchte bei folgender Aufgabe eure Hilfe. Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.

Grüße

MAxi1996

Comments

Für eine Matrix gibt es keine Hauptachsen. Bitte komplette Aufgabe angeben...

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Das ist die gesamte Aufgabe.

Die Hauptachsentransformation ist bei uns definiert als:

Ist A ∈ M_n(R) symmetrisch, so gibt es S ∈ SO(n) derart, dass S⁻¹AS Diagonalgestalt hat.

Answer 1

Aloha :)

Du benötigst die Eigenwerte und zu deren Berechnung das charakteristische Polynom:$$0=\left|\begin{array}{c}3-\lambda & 0 & 1\\0 & 1-\lambda & 0\\1 & 0 & 3-\lambda\end{array}\right|=(3-\lambda)\left|\begin{array}{c}1-\lambda & 0\\0 & 3-\lambda\end{array}\right|+\left|\begin{array}{c}0 & 1\\1-\lambda & 0\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(3-\lambda)(1-\lambda)(3-\lambda)-(1-\lambda)=(1-\lambda)\left[(3-\lambda)^2-1\right]$$$$\phantom{0}=(1-\lambda)(9-6\lambda+\lambda^2-1)=(1-\lambda)(\lambda^2-6\lambda+8)=(1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-4)$$Damit haben wir die EW:$$\lambda_1=1\quad;\quad\lambda_2=2\quad;\quad\lambda_3=4$$Die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte ist \(1\), es sind alles einfache Nullstellen.

Nun brauchen wir die Eigenvektoren:$$\left(\begin{array}{c}3-1 & 0 & 1\\0 & 1-1 & 0\\1 & 0 & 3-1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\1 & 0 & 2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & \frac{3}{2}\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Es muss also \(x=0\) und \(z=0\) gelten, \(y\) ist beliebig.$$EV_1\;:\vec x_1=(0|1|0)^T$$$$\left(\begin{array}{c}3-2 & 0 & 1\\0 & 1-2 & 0\\1 & 0 & 3-2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\0 & -1 & 0\\1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Es muss also \(x+z=0\) und \(y=0\) gelten.$$EV_2\;:\vec x_2=(-1|0|1)^T$$$$\left(\begin{array}{c}3-4 & 0 & 1\\0 & 1-4 & 0\\1 & 0 & 3-4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & 1\\0 & -3 & 0\\1 & 0 & -1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{c}-1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)$$Es muss also \(-x+z=0\) und \(y=0\) gelten.$$EV_3\;:\vec x_3=(1|0|1)^T$$Die Dimension der Eigenräume (geometrische Vielfachheit) ist ebenfalls \(1\).

Die Hauptachsentransformation lautet daher:

$$\underbrace{\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 0\\-\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2}\end{array}\right)}_{=S^{-1}}\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{c}3 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 3\end{array}\right)}_{=A}\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{c}0 & -1 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1\end{array}\right)}_{=S}=\underbrace{\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 4\end{array}\right)}_{=D}$$

Comments

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Super, vielen Dank.  Eine allgemeine Frage hab ich nochmal an dich. Die kannst du mir bestimmt beantworten. ;)

Wie sehe ich jetzt hier oben an dem Beispiel, das die geometrische vielfachheit 1 ist? Bzw. wie bestimme ich im allgemeinen die Geometrische Vielfachheit?

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Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums zu einem Eigenwert. Du musst also schauen, wie viele linear unabhängige Eigenvektoren es zu einem Eigenwert gibt. Diese Anzahl ist die geometrische Vielfachheit. In deinem Beispiel sind alle algebraischen und alle geometrischen Vielfachheiten gleich \(1\).

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ich bin zwar nicht der Fragestelller, aber könntest du vielleicht nochmal erklären, warum du hier an erster Stelle die Inverse, ansteller der Transponierten genommen hast (ich dachte, dass man S so wählen müsste, dass S^TAS=D). Bzw. warum d nur S^-1 normiert hast und S so stehen gelassen hast?

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Eigentlich muss an erster Stelle immer die Inverse stehen, weil du die Darstellung der Komponenten in die ursrpüngliche Basis zurücktranformieren muss. Es kommt jedoch oft vor, dass die Matrix \(S\) orthonormal ist, d.h. die Transponierte ist gleich der Inversen, \(S^{-1}=S^T\). Dann kann man sich natürlich die Berechnung der inversen Matrix sparen und stattdessen die transponierte Matrix verwenden. Probier das mal bei deinen Beispielen aus, dann wirst du feststellen, dass \(S^T\cdot S=1\) ist.

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Hat funktioniert, vielen Dank:)

Answer 2

Die Hauptachsentransformation ist ein Verfahren der linearen Algebra, um Gleichungen sogenannter "Hyperflächen zweiter Ordnung", Quadrik, in einer Normalform darzustellen und zu klassifizieren.

Ein Schritt des Verfahrens besteht darin die Quadrik in achsenparallele Lage zu drehen was einer Diagonalmatrix entspricht. Da von Hauptachsentransformation einer Matrix zu sprechen ist schlicht falsch.

https://www.geogebra.org/m/pempffkx

Zum Diagonalisierungsverfahren von Matrizen siehe

https://www.mathelounge.de/698598/prufen-sie-ob-die-matrix-diagonalisierbar-ist

z.B. |A - λE|=0

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&1&\left(\begin{array}{rrr}2&0&1\\0&0&0\\1&0&2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&-1&0\\1&0&1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&4&\left(\begin{array}{rrr}-1&0&1\\0&-3&0\\1&0&-1\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

===>

\(\scriptsize \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}0&-x3&x3\\x2&0&0\\0&x3&x3\\\end{array}\right)\)

===>

\(\scriptsize S \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&-1&1\\1&0&0\\0&1&1\\\end{array}\right)\)