Warum ist diese Abbildung NICHT linear?

Question

Aufgabe:

h(x1,x2,x3)= (2x3-x2

                       x1x2

                        2x3 )

Problem/Ansatz:

ich komme leider gar nicht mit und weiß auch nicht wie ich die Homogenität und die Additivität hier prüfen soll.

Hoffe dass mit jemand weiterhelfen kann.

Answer 1

Um die Nicht-Linearität nachzuweisen, genügt es, ein einziges Gegenbeispiel anzugeben. Natürlich ist auch sofort klar, dass die Linearität an der Multiplikation x₁·x₂ in der mittleren Komponente des Bildvektors scheitern muss.

Suche also einen (möglichst einfachen) Vektor x, für welchen etwa die Gleichung h(2·x) = 2·h(x) nicht erfüllt ist.

Answer 2

Aloha :)

$$h(1,0,0)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\quad;\quad h(0,1,0)=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\end{array}\right)\quad;\quad h(1,1,0)=\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)$$Wähe \(h\) linear, müsste gelten:$$h(1,1,0)=h(1,0,0)+h(0,1,0)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\0\end{array}\right)\stackrel{!}{\ne}\left(\begin{array}{c}-1\\1\\0\end{array}\right)$$Also ist \(h\) nicht linear.