Warum sind folgende Abbildungen nicht linear?

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass folgende Abbildung nicht linear ist: \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( h\left(\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+x_{2} \\ x_{1}+4 \end{array}\right) . \)

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Zeigen Sie, dass folgende Abbildung nicht linear ist: \( h: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)
\( h\left(\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+x_{2} \\ x_{1}^{2} \end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Vielen dank für Antworten

Comments

Etwas mehr Eigeninitiative sollte drin sein...

Answer 1

Aloha :)

zu a) Für jede lineare Abbildung \(f(x)\) muss gelten:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\implies f(0)=0$$Das heißt, jede lineare Abbildung muss die \(0\) auf die \(0\) abbilden. Hier gilt aber:$$h\left(\binom{0}{0}\right)=\binom{0}{4}\ne\binom{0}{0}$$Daher ist \(h\) nicht linear.

zu b) Betrachte:$$h\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{1}{1}\quad;\quad h\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{2}{4}\quad;\quad h\left(\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\right)=\binom{3}{9}\quad\implies$$$$h\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right)+h\left(\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\right)\ne h\left(\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\right)$$Auch diese Abbildung \(h\) ist nicht linear.

Answer 2

Eine Lineare Abbildung von R³ nach R² lässt sich doch schreiben als

f(x1, x2, x3) = (a·x1 + b·x2, c·x1 + d·x2)

Keine deiner Funktionen h kann ich in diese Form bringen.