Ist diese Abbildung linear oder nicht?

Question

Aufgabe:

1. Linear oder nicht? Begründen Sie! ¨
(i)
ρ : ℂ^3→ℂ²
ρ(x, y, z) := (x + iy, 1 + iz)

(ii)
D : ℝ^3 →ℝ³
D(x1, x2, x3) := (x2, −x1, x3)

2. Ist die Abbildung
σ : ℝ^4→ℝ³
σ(a, b, c, d) := (a + b, a + c, d)
injektiv? Ist sie surjektiv? (Argumentieren Sie direkt mit der Definition der Begriffe ”injektiv“ und ”surjektiv“, also ohne Methoden der linearen Algebra heranzuziehen!)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich begründen, ob diese Abbildungen linear sind?

Es gilt: die Bedingungen für die Linearität kenne ich:

1)f(x+1)=f(x)+f(y)

2)f(λ·x) =λ·f(x)

Wie kann ich die Koordinaten von komplexen Zahlen einsetzen?

Ich bitte um Hilfe

Danke

Answer 1

Aloha :)

(1i) Wenn \(\rho:\,\mathbb C^3\to\mathbb C^2\) linear wäre, müsste gelten:$$\rho(a+b)=\rho(a)+\rho(b)\quad;\quad \rho(\lambda\cdot a)=\lambda\cdot \rho(a)\quad\text{für} a\in\mathbb C^3\;;\;\lambda\in\mathbb C$$Aus der 2-ten Forderung folgt mit \(\lambda=0\) sofort, dass \(f(0,0,0)=\binom{0}{0}\) gelten muss. Wir prüfen das nach:$$\rho(0,0,0)=\binom{0+i\cdot0}{1+i\cdot0}=\binom{0}{1}\ne\binom{0}{0}\quad\Longrightarrow\quad\rho \text{ ist nicht linear}$$

(1ii) Wir prüfen für die Abbildung \(D:\,\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) die Linearität. Seien dazu \(a,b\in\mathbb R^3\) und \(\lambda\in\mathbb R\).

$$D(a+b)=D(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)=\begin{pmatrix}a_2+b_2\\-(a_1+b_1)\\a_3+b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_2\\-a_1\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_2\\-b_1\\b_3\end{pmatrix}$$$$\qquad=D(a_1,a_2,a_3)+D(b_1,b_2,b_3)=D(a)+D(b)\quad\checkmark$$$$D(\lambda\cdot a)=D(\lambda a_1,\lambda a_2,\lambda a_3)=\begin{pmatrix}\lambda a_2\\-\lambda a_1\\\lambda a_3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}a_2\\-a_1\\a_3\end{pmatrix}$$$$\qquad=\lambda\cdot D(a_1,a_2,a_3)=\lambda\cdot D(a)\quad\checkmark$$Die Abbilung \(D\) ist also linear.

Answer 2

Hallo

einfach nachrechnen z.B, a) f(rx,ry,rz)=(rx + iry, 1 + irz) ≠r*(x+iy,1+iz)=(rx+iry,r+irz) also nicht linear, dann muss man das andere Kriterium nicht mehr überprüfen.

bei ii) stimmt alles, einfach (x1+x2,y1+y2,z1+z1) nachrechnen

ebenso mit iii einfach a1+a2 usw einsetzen

Gruß lul