Extremalwertproblem lösen

Question

Aufgabe:

Wir gehen davon aus, dass die Laufbahn aus einem Rechteck und zwei aufgesetzen Halbkreisen besteht und die Strecke auf der innersten Bahn 400m misst.

Berechnen Sie die Länge des Rechtecks, damit sein Inhalt maximal wird

Answer 1

Wenn das Rechteck die Länge a und die Breite b hat, dann haben die beiden

Halbkreise den Radius b/2 und damit ist die Laufbahn entlang der

Halbkreise 2* (b/2) * pi also   b*pi

und die beiden geraden Stücke sind je a, also zusammen 2a

und damit muss gelten b*pi+2a = 400 ==>   a = 200 -  b*pi/2

Die Rechtecksfläche ist    A(a,b) = a*b

also A( b) = (200 -  b*pi/2 )*b = 200b - b^2 *pi/2

Davon das Maximum bestimmen gibt b= 200/pi

Answer 2

Rechtecksfläche: f(r)=2r·a

Laufbahn: 400=2a+2πr oder a=200-πr

Dann: f(r)=2r·(200-πr)=400r-2πr²

Nullstelle der ersten Ableitung ist die halbe Rechtecksbreite. In a=200-πr einsetzen ergibt die Rechteckslänge.