Gleichheit zweier Terme (Ströme in einem unsymmetrischen Drehstromnetz)

Question

Aufgabe:

Es geht um die Berechnung von unsymmetrischen Strömen (siehe Fragetitel). Prinzipiell spielt der Hintergrund eine untergeordnete Rolle. Für die Berechnung des Stromes zweier Außenleiter gilt:

\( l_{12}=\sqrt{l_{1}^{2}+l_{2}^{2}-l_{1} * l_{2}} \)

Problem/Ansatz:

Nun habe ich mir händisch eine Formel zusammengebastelt, mit der ich auf das gleiche Ergebnis komme (für mich ein Versuch, die Zusammenstellung der Formel zu verstehen):

\( I_{12}=\sqrt{\left(I_{2} * \cos (30)\right)^{2}+\left(I_{1}-\sqrt{I_{2}^{2}-\left(I_{2} * \cos (30)\right)^{2}}\right)^{2}} \)

Diese Formel habe ich aus einem Zeigerdiagramm gebaut. Das mag jetzt vielleicht für Verwirrung sorgen. Bei meiner Formel kann ich aber die Herkunft der Termteile besser nachvollziehen.

Meine Frage: Kann meine Formel so umgeformt werden, dass die obere Formel heraus kommt?

Answer 1

Aloha :)

Ich rechne mit \(I_{12}^2\), um das große Wurzelzeichen zu sparen:$$I_{12}^2=\left(\underbrace{I_2\cdot\cos(30)}_{=I_2\,\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)^2+\left(I_1-\sqrt{I_2^2-\left(\underbrace{I_2\cdot\cos(30)}_{=I_2\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)^2}\right)^2$$$$\phantom{I_{12}^2}=\frac{3}{4}I_2^2+\left(I_1-\sqrt{I_2^2-\frac{3}{4}I_2^2}\right)^2=\frac{3}{4}I_2^2+\left(I_1-\sqrt{\frac{1}{4}I_2^2}\right)^2$$$$\phantom{I_{12}^2}=\frac{3}{4}I_2^2+\left(I_1-\frac{1}{2}I_2\right)^2=\frac{3}{4}I_2^2+\left(I_1^2-2\cdot I_1\cdot\frac{1}{2}I_2+\frac{1}{4}I_2^2\right)$$$$\phantom{I_{12}^2}=\frac{3}{4}I_2^2+I_1^2-I_1I_2+\frac{1}{4}I_2^2=I_1^2+I_2^2-I_1I_2\quad\checkmark$$

Comments

Ich kann jeden Schritt nachvollziehen. Ich wäre nur nicht selbst drauf gekommen.

Ich werde das jetzt nochmal alles in Ruhe aufschreiben.

Answer 2

Es gilt: (I₂·cos(30°))²=3/4·I₂² . Dieser Term kommt zweimal vor und kann in beiden Fällen so ersetzt werden. Der Rest ist dann ganz einfach, wenn man mit der Wurzel unter der Wurzel beginnt.

Comments

Vielen Dank schonmal! Das macht das Ganze schonmal übersichtlicher und ist für mich nachvollziehbar (wäre ich aber nie drauf gekommen).

Ich habe das nun versucht zu kurzen aber ich komme dann auf I₁₂ = I₁ - I₂.

Könnten Sie die Schritte einmal einzelnd aufschlüsseln?

Ich denke, dass ich die Wurzeln falsch auflöse.

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In der Wurzel unter der Wurzel fehlt eine Klammer. Wenn diese gesetzt wird: \( \sqrt{I_2^{2}-\frac{3}{4}·I_2^{2}} \) =\( \sqrt{\frac{1}{4}·I_2^{2}} \)=\( \frac{I_2}{2} \). 

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Dort fehlt meiner Meinung nach keine Klammer. Die Wurzel in der Wurzel ist gehört mit in die letzte geschlossene Klammer.

\( \left(l_{1}-\sqrt{l_{2}^{2}-\left(l_{2} * \cos (30)\right)^{2}}\right)^{2} \)

Oder habe ich Sie missverstanden?

\( \left(I_{2} * \cos (30)\right)^{2}+\left(I_{1}-\sqrt{I_{2}^{2}-\left(I_{2} * \cos (30)\right)^{2}}\right)^{2} \)

\( +\left(l_{1}-\sqrt{l_{2}^{2}-\left(l_{2} * \cos (30)\right)^{2}}\right)^{2} \)

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Genau das habe ich gemeint.