Polynom durch 6 Punkte bestimmen

Question

Hallo liebe Mathematiktreibende,

wir sollen als Übungsaufgabe ein Polynom 5. Grades durch 6 gegebene Punkte legen. Es gibt 50% mehr Punkte (9 statt 6), wenn dies ohne Lösen eines linearen Gleichungssystems gelingt. Die Punkte lauten

-3; -196

-2; -22

-1; 4

0; 8

1; 20

2; 94

Die Sonderpunkte würde ich gerne mitnehmen. Daher meine Bitte hier um Hilfe.

Emil

Answer 1

Aloha :)

Du hast die Punkte \((-2|-22),(-1|4),(0|8),(1|20),(2|94),(-3|-196)\) und sollst ein Polynom 5-ten Grades finden, das diese Punkte enhält. Da du das Lösen eines Gleichungssystems vermeiden möchtest, empfehle ich den folgenden Ansatz:$$p(x)=A_1+A_2(x+2)+A_3(x+2)(x+1)+A_4(x+2)(x+1)x$$$$\phantom{p(x)}+A_5(x+2)(x+1)x(x-1)+A_6(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)$$Die Klammern sind so gewählt, dass sie Null ergeben, wenn man die \(x\)-Werte der gegebenen Punkte einsetzt. Das Prinzip wird während der Rechnung klar, mit jedem eingesetzen Punkt erhältst du eine Variable \(A_i\). Der Ansatz ist mir noch etwas zu komplex, deswegen splitte ich ihn wie folgt.$$p(x)=A_1+A_2(x+2)+A_3(x+2)(x+1)$$$$\phantom{p(x)}+(x+2)(x+1)x\cdot\left[A_4+A_5(x-1)+A_6(x-1)(x-2)\right]$$

Wir setzen nun die Punkte ein:$$-22=p(-2)=A_1\;\;\Rightarrow\;\;A_1=-22$$$$4=p(-1)=A_1+A_2=-22+A_2\;\;\Rightarrow\;\;A_2=26$$$$8=p(0)=A_1+2A_2+2A_3=30+2A_3\;\;\Rightarrow\;\;A_3=-11$$Wir halten kurz den Zwischenstand fest:$$p(x)=-22+26(x+2)-11(x+2)(x+1)$$$$\phantom{p(x)}+(x+2)(x+1)x\cdot\left[A_4+A_5(x-1)+A_6(x-1)(x-2)\right]$$$$\phantom{p(x)}=-22+26x+52-11x^2-33x-22$$$$\phantom{p(x)}+(x+2)(x+1)x\cdot\left[A_4+A_5(x-1)+A_6(x-1)(x-2)\right]$$$$p(x)=-22+26(x+2)-11(x+2)(x+1)$$$$\phantom{p(x)}+(x+2)(x+1)x\cdot\left[A_4+A_5(x-1)+A_6(x-1)(x-2)\right]$$$$p(x)=8-7x-11x^2+(x^3+3x^2+2x)\cdot\left[A_4+A_5(x-1)+A_6(x-1)(x-2)\right]$$

Wir setzen nun die übrigen Punkte ein:$$20=p(1)=-10+6A_4\;\;\Rightarrow\;\;A_4=5$$$$94=p(2)=-50+24\left(A_4+A_5\right)=70+24A_5\;\;\Rightarrow\;\;A_5=1$$$$-196=p(-3)=-70-6\left(A_4-4A_5+20A_6\right)=-76-120A_6\;\;\Rightarrow\;\;A_6=1$$Damit erhalten wir den Term in der eckigen Klammer des Polynoms:$$A_4+A_5(x-1)+A_6(x-1)(x-2)=5+(x-1)+(x-1)(x-2)$$$$=x^2-2x+6$$und schließlich das gesuchte Polynom:$$p(x)=8-7x-11x^2+(x^3+3x^2+2x)\cdot\left(x^2-2x+6\right)$$$$p(x)=8-7x-11x^2+\left(x^5+x^4+2x^3+14x^2+12x\right)$$$$p(x)=x^5+x^4+2x^3+3x^2+5x+8$$

~plot~ x^5+x^4+2x^3+3x^2+5x+8 ; [[-3.5|2.5|-200|100]] ~plot~

Comments

Danke dir sehr fürs Zeigen. Die Methode ist sehr einleuchtend und ich komme am Gauß-Verfahren vorbei. Bin mal gespannt, ob das die volle Punktzahl gibt.

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Es gibt 50% mehr Punkte (9 statt 6), wenn dies ohne Lösen eines linearen Gleichungssystems gelingt.

Das Gleichungssystem das hier gelöst wird ist:
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 6 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 12 & 24 & 24 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & -6 & 24 & -120    \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ A_4 \\ A_5 \\ A_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -22\\4\\8\\20\\94\\-196\end{pmatrix} $$

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Nunja, die Matrix hat Stufenform, daher benötigt man kein Gauß-Verfahren mehr und man kann die Lösungen direkt ablesen. Bin mal gespannt, ob das die volle Punktzahl gibt. Ich hoffe, Emil postet das hier noch.

Das Lagrange-Verfahren ist meiner Meinung nach einfach zu viel Rechnerei, eine Strafarbeit für jemanden, der Vater und Mutter erschlagen hat.

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eine Strafarbeit für jemanden, der Vater und Mutter erschlagen hat.

Haha, so ist es ja auch :D Deshalb gibt es die 50% Punktezuschlag.

Answer 2

Ich würde dir gerne noch einen zweiten Ansatz vorschlagen (v.a. da ich finde dass man bei Tschaka ebenfalls ein Gleichungssystem lösen muss [auch wenn es sehr einfach ist, da die Koeffizienentenmatrix Dreiecksgestalt hat])

Der Trick ist spezielle Polynome einzuführen. Wir betrachten die Stützstellen

$$ x_1 = -3, x_2 = -2, x_3 = -1, x_4 = 0, x_5 = 1, x_6 = 2 $$

und definieren die sogenannte Lagrange-Polynome:

$$ l_i := \prod_{j=1\\j\neq i}^6 \frac{x - x_j}{x_i - x_j} $$

für \( i = 2 \) also z.B.

$$ l_2 = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\cdot\frac{x - x_3}{x_2 - x_3}\cdot\frac{x - x_4}{x_2 - x_4}\cdot\frac{x - x_5}{x_2 - x_5}\cdot\frac{x - x_6}{x_2 - x_6} $$

Diese Polynome haben die nette Eigenschaft, dass

$$ l_i(x_j) = \delta_{ij} = \begin{cases}1 & i = j \\ 0 & i \neq j\end{cases} $$

Überlege dir das vielleicht mal oben an \( l_2 \). Der "Witz" ist nun, dass man mit diesen Polynomen das Interpolationspolynom auf einfachstem Weg angeben kann:

$$ f = \sum_{i=1}^6 f_i l_i $$

Wobei mit \( f_i \) der Funktionswert an der Stelle \( x_i \) gemeint ist, d.h.

$$ f_1= -196, f_2 = -22, f_3 = 4, f_4 = 8, f_5 = 20, f_6 = 94 $$

Das gesuchte Polynom ist damit

$$ f = -196 l_1 -22 l_2 + 4 l_3 + 8l_4 + 20 l_5 + 94 l_6 $$

Comments

Hallo EmNero,

vielen Dank für deine Lösung. Ich verstehe sie. Um das eigentliche Polynom zu erhalten, muss ich ja nun sehr viel rechnen. Bei der anderen Lösung fällt das quasi automatisch ab.

Aber danke für die interessante Vorgehensweise!

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Da sprichst du einen nicht unwesentlichen Punkt an:

Der Newtonsche Algorithmus (Tschakas Verfahren) ist einfacher auszurechnen als das von mir verwendete Lagrange Verfahren. Dieses ist eigentlich nur für theoretische Überlegungen gut geeignet und findet in der Praxis kaum Anwendung.

(Beachte aber, dass du bei Tschakas Weg vermutlich keine Bonuspunkte bekommen wirst)

Answer 3

Das Polynom in der Lagrange-Darstellung, sowie das in der Newton-Darstellung, wird überhaupt nicht ausgerechnet. So wie es dasteht wird es im Computer gespeichert, und so wie es dasteht gibt es Algorithmen, die schnell und ohne größere Rundungsfehler gewünschte y-Werte ausrechnen.