Startvektor für ein periodisches Modell bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine 3x3 Matrix A und das Entwicklungsmodell v_n+1 = A*v_n.

_{A=(0 -1 0 / 1 0 0 / 0 0 2)}

Nun soll ich einen Startvektor mit reellen Koordinaten finden, sodass das Modell eine periodische Entwicklung zeigt mit v_n+1 = v_n beschreibt.

Problem/Ansatz:

Weiss wirklich nicht wie vorgehen. Hab mir gedacht, da v₄ = v₀ sein müsste, dass ich das v4 = A⁴*v0 gleichstellen könnte, aber irgendwie ist es eine Sackgasse.

Answer 1

das Entwicklungsmodell v_n+1 = A*v_n.

Die Gleichung nenne ich mal (1).

mit v_n+1 = v_n.

Das heißt du darfst in Gleichung (1) das v_n+1 durch v_n ersetzen. Mache das und löse die resultierende Gleichung.

Comments

Danke für die Antwort.

Das führt bei mir zu x=-y, y=x und z=2z. Wie ist das zu interpretieren?

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Das führt bei mir zu x=-y, y=x und z=2z.

Aus z = 2z folgt z = 0.

Einsetzen von x = -y in y = x ergibt y = -y und somit y = 0.

Wegen y = x ist dann auch x = 0.

Wie ist das zu interpretieren?

Der Startvektor muss (0, 0, 0) sein.

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tut mir leid, da muss es eine andere Lösung geben. Hätte noch in der Aufgabenstellung erwähnen müssen, dass er Startvektor nicht (0, 0, 0) sein darf. Gibt es noch einen anderen Ansatz?

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dass er Startvektor nicht (0, 0, 0) sein darf.

Einen anderen gibt es nicht.

Gibt es noch einen anderen Ansatz?

Das Problem ist nicht der Ansatz, sondern die Aufgabe.

Hab mir gedacht, da v₄ = v₀ sein müsste

Wegen der Transitivität der Gleichheitsbeziehung ist das korrekt. Trotzdem frage ich mich, wie du plötzlich die 4 aus dem Hut gezaubert hast. Du könntest stattdessen ebenso 1, 2, 3 oder 1337 verwenden.

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ach tut mir nochmals leid. Hätte so in der Aufgabenstellung stehen müssen:

Nun soll ich einen Startvektor mit reellen Koordinaten finden, sodass das Modell eine periodische Entwicklung zeigt mit v_n+4 = v_n beschreibt.

Zu Beginn hatte ich dies so dargestellt! :( v_n+1 = v_n

Darum kam ich bei mir auf v₄=v_0.

Sorry nochmals. Hätte es durchlesen müssen, bevor ich es versandt hätte. Denkst du kannst du mir jetzt noch helfen?

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v_n+4 = v_n

Die Gleichung nenne ich mal (2).

mit v_n+4 = v_n

Laut Entwicklungmodell ist dann

(3)        v_n+4 = A⁴·v_n.

Wegen Gleichung (2) darfst du in Gleichung (3) das v_n+4 durch v_n ersetzen. Mache das und löse die resultierende Gleichung.

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Danke vielmals für die Antworten. Ich schätze das sehr. Auf das bin ich ebenfalls gekommen, aber irgendwie kann ich mit dem Resultat nichts anfangen.

x=x

y=y

z=16z

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aber irgendwie kann ich mit dem Resultat nichts anfangen.

Dann solltest du auf jeden Fall mal wiederholen, wie man die Lösungsmenge von Gleichungssystemen bestimmt, die nicht eindeutig lösbar sind.

x=x

Diese Gleichung ist gültig egal welche Zahl du für x verwendest.

y=y

Diese Gleichung ist gültig egal welche Zahl du für y verwendest.

z=16z

Löse diese Gleichung.

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okay danke, vielmals. Hat geklappt. Ich war eben fixiert, dass es eine Lösung mit 3 reellen Zahlen (x,y,z).

Aber scheinbar gibt es unendlich viele Lösungen, solange z = 0 ist.

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gibt es unendlich viele Lösungen, solange z = 0 ist.

Genau so ist es.