Prädikatenlogische Formel zeigen für alle Interpretationen

Question

Aufgabe:

Seien A und B prädikatenlogische Formeln. Zeigen Sie dann für alle Interpretationen I:

$$ (I \vDash \neg B \ und \ I \vDash A\lor B ) \Rightarrow I\vDash A $$

Problem/Ansatz:

Hey hab bisher versucht das ganze mit der Definition von $$ \lor $$ oder mit der Def von $$ \rightarrow $$ und f.a. $$ \beta $$ aufzulösen

z.b. So:

$$ I \vDash \neg B \ und \ I \vDash A \lor B \Leftrightarrow \ (Def \ I \vDash) \ f.a. \beta \ I, \beta \vDash \neg B \ und \ f.a. \beta \ I, \beta \vDash A \lor B \Leftrightarrow (Def \ \rightarrow) \ f.a. \beta \ \ I ,\beta \vDash \neg B \ und \ f.a. \beta \ I, \beta \vDash \neg B \rightarrow A$$

oder so:

$$ I \vDash A \lor B \Rightarrow f.a.\ ß_1 I,ß_1\vDash A \ oder \ f.a. \ ß_2 \ I,ß_2\vDash B $$

Mir ist inzwischen schon klar geworden, dass mein Umstellen teilweise nur in eine Richtung zeigen darf und nicht immer $$ \Leftrightarrow$$ gilt, weil man aufpassen muss, weil die betas teilweise die Richtungen die Hin oder Rückrichtung kaputt machen, je nachdem. Hab dann teilweise versucht die beiden obigen Aussagen noch unterschiedlich weiter aufzulösen, aber war bisher alles eher erfolglos. Wäre froh, wenn mir jemand möglichst schnell auf die Lösung helfen könnte oder eventuell sogar einfach die Lösung zeigt, da ich übermogen bereits die Klausur dazu habe.

Liebe Grüße

Answer 1

Sei \(I\) eine Interpretation mit \(I \models \neg B\) und \(I\models A\vee B\).

Laut Definition von \(\vee\) gilt dann \(I \models A\) oder \(I \models B\) wegen \(I\models A\vee B\).

Laut Definition von \(\neg\) gilt nicht \(I \models B\) wegen \(I \models \neg B\).

Also muss \(I \models A\) gelten.