Aloha :)
a) Da die Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten eine rote bzw. eine blaue Kugel zu ziehen für beide Ziehungen gleich.$$p(0\text{ rote})=p(bb)=\frac{3}{7}\cdot\frac{3}{7}=\frac{9}{49}$$$$p(1\text{ rote})=p(rb)+p(br)=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{7}=\frac{24}{49}$$$$p(2\text{ rote})=p(rr)=\frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}=\frac{16}{49}$$Der Erwartungswert für die Anzahl roter Kugeln ist also:$$\langle r\rangle=0\cdot\frac{9}{49}+1\cdot\frac{24}{49}+2\cdot\frac{16}{49}=\frac{56}{49}=\frac{8}{7}\approx1,14$$
b) Nun wird die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt. Dann ergibt sich folgendes Bild:$$p(0\text{ rote})=p(bb)=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}=\frac{6}{42}=\frac{1}{7}$$$$p(1\text{ rote})=p(rb)+p(br)=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}+\frac{3}{7}\cdot\frac{4}{6}=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}$$$$p(2\text{ rote})=p(rr)=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{12}{42}=\frac{2}{7}$$Der Erwartungswert für die Anzahl roter Kugeln ist nun also:$$\langle r\rangle=0\cdot\frac{1}{7}+1\cdot\frac{4}{7}+2\cdot\frac{2}{7}=\frac{8}{7}\approx1,14$$
Die Erwartungswerte sind in beiden Fällen gleich.
