Frage bezüglich Stochastik

Question

Aufgabe:

Vorgaben:

In Urne 1 befinden sich vier rote und sechs blaue Kugeln, in einer zweiten Urne drei grüne und sieben rote Kugeln. Zuerst wird die Urne gewählt und dann zweimal aus der selben gezogen.

Aufgabe: Nun werden zwei Kugeln ohne zurücklegen gezogen. Beide Kugeln sind rot. Geben sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass aus der zweiten Urne gezogen wurde.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe die Aufgabe oben beschrieben. Mein Ansatz wäre jetzt gewesen, die Wahrscheinlichkeit für den Pfad: 2. Urne und dann Rot Rot also 0,5 * 0,7 * 0,7 zu rechnen und das dann als Ergebnis zu verwenden. Allerdings habe ich das Gefühl, dass das falsch ist. Bin in Stochastik eine komplette Niete... Könnte mir bitte jemand aus dem Forum helfen?

Answer 1

Aloha :)

Wir tun mal so, als würden wir das Zufallsexperimen 300-mal durchführen. Dann ergibt sich folgende Verteilung:

	\(rr\)	\(\overline{rr}\)
\(U_1\)	\(\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot300\right)\)		\(\frac{1}{2}\cdot300\)
\(U_2\)	\(\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot300\right)\)		\(\frac{1}{2}\cdot300\)
			\(300\)

Wir rechnen aus und füllen die 4-Felder-Tafel durch Addition / Subtraktion auf:

	\(rr\)	\(\overline{rr}\)
\(U_1\)	20	130	150
\(U_2\)	70	80	150
	90	210	300

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also:$$p(U_2|rr)=\frac{70}{90}=\frac{7}{9}$$Oder direkt berechnet:

$$p(U_2|rr)=\frac{p(U_2\land rr)}{p(rr)}=\frac{p(U_2\land rr)}{p(U_1\land rr)+p(U_2\land rr)}$$$$\phantom{p(U_2|rr)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}}=\frac{\frac{7}{30}}{\frac{9}{30}}=\frac{7}{9}$$