Wurzel aus einer komplexen Zahl

Question

Aufgabe:

Kann mir jemand folgendes erklären. Wir bewegen uns hier im komplexen Raum.

Wenn ich zb die dritte Wurzel einer zahl ziehe.  z= \( \sqrt[3]{-1} \)

Wieso darf ich dann für den Radius einfach die dritte Wurzel aus 1 nehmen? Also den Betrag davon? Welche Überlegung macht man sich dabei?

In allgemeiner Form wäre es so beschrieben:

bei a<0 auf der reellen Achse gilt für den Radius -a = |a| =a₀

Und ebenfalls bei a<0. Wieso gilt beim Winkel pi + 2kpi. Muss das pi dazuaddiert werden, da ich mich bei den reellen Zahlen auf der minus Seite befinde?

Danke.

Answer 1

Eine Lösung der Gleichung \(z^3 = -1 =  1\cdot e^{i \pi}\) ist \(z_1=\sqrt[3]{-1} = \left(1\cdot e^{i\pi}\right)^{1/3}\).

Ferner gilt (Moivre) \(\left(1\cdot e^{i\pi}\right)^{1/3} = 1^{1/3} \cdot \left(e^{i \pi}\right)^{1/3} = \underbrace{1}_{\text{Radius}} \cdot e^{i\cdot \pi/3}\). Somit bleibt also der Radius von \(z_1\) eins und der Winkel 60°.

Answer 2

Aloha :)

Zum Ziehen der Wurzeln von komplexen Zahlen kann man diese in Polardarstellung umwandeln:$$z^3=-1=\cos\pi+i\sin\pi=e^{i\pi}=1\cdot e^{i\pi}$$Man erkennt nach dieser Umformung den Betrag \(1\) und den Winkel \(\pi\) in der Gauß'schen Zahlenebene. Aber die Darstellung ist noch nicht komplett, wir können zum Polarwinkel \(\pi\) noch beliebig oft \(2\pi\) addieren, ohne den Wert der komplexen Zahl zu verändern, also:$$z^3=1\cdot e^{i(\pi+2\pi\cdot k)}=e^{i(2k+1)\pi}\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$Zur Bestimmung von \(z\) nehmen wir nun beide Seiten hoch \(\frac{1}{3}\),$$z=e^{i\frac{2k+1}{3}\,\pi}\quad;\quad k\in\mathbb{Z}$$und stellen fest, dass es im Hauptintervall \([0;2\pi[\) für den Polarwinkel genau \(3\) unterschiedliche Lösungen gibt:$$z_0=e^{i\pi/3}\quad\;\text{für}\quad k=0$$$$z_1=e^{i\pi}\quad\;\;\;\,\text{für}\quad k=1$$$$z_2=e^{i5\pi/3}\quad\text{für}\quad k=2$$Alle anderen möglichen Polarwinkel bzw. alle anderen Werte für \(k\) lassen sich durch Addition/ Subtraktion eines Vielfachen von \(2\pi\) auf diese 3 zurückführen. Es gibt also 3 verschiedene Ergebnisse für \(\sqrt[3]{-1}\).