allgemeine Anleitung:
Lösung der komplexen Gleichung zn = w [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]
bei dir n=3 , w = - 2i ( a=0 , b = - 2 )
w hat dann eine der Formen w = a + i · b = r · ei ·φ = r · ( cos(φ) + i · sin(φ) ) [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].
Den Betrag |w| = r und das Argument φw kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:
r = √(a2 +b2) und φw = arccos(a/r) wenn b≥0 [ - arccos(a/r) wenn b<0 ] .
( mit dem cos kann man sich das einfacher merken als mit dem tan !)
Die n Werte zk für z = n√w erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel zk = n√r · [ (cos( (φw + k · 2π) / n ) + i · sin( (φw + k · 2π) / n ) ]
[ Die Eulersche Form ist jeweils zk = n√r · ei·(φw+k·2π)/n ]
Kontrolllösung (Rechnerlösung):
z ≈ 1.259921049·i ∨ z ≈ -1.091123635 - 0.6299605249·i
∨ z ≈ 1.091123635 - 0.6299605249·i
Gruß Wolfgang