Nullstellen einer komplexen Wurzel

Question

Aufgabe:

Finden Sie die Nullstellen der Gleichung:

\( \sqrt[4]{-81} \)

Problem/Ansatz

Bei mir scheitert es leider am verstehen der Angabe, bzw bin ich mir einfach nicht sicher ob ich sie richtig verstanden habe.

Ich würde das Ganze einfach in die trig. Form bringen und dann die Wurzel ziehen. nur verunsichert mich das, finde die Nullstelle, was ist damitt gemeint, kann mir dabei jemand auf die Sprünge helfen? Oder ist es mit den 4 Wurzeln eh schon getan

Danke

Comments

Gemeint sind vermutlich die komplexen Lösungen der Gleichung x⁴ + 81 = 0.

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Also im Grunde eh wie angenommen.

Danke dir

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die Nullstellen der Gleichung

Da steht keine Gleichung...

Answer 1

\(x^4=-81=-3^4=e^{(\pi+2k\pi) i}\cdot 3^4 \Rightarrow x=e^{\frac{\pi+2k\pi}{4} i}\cdot 3\) für \(k=0,1,2,3\)

jetzt nur noch in trigonometrische Form umwandeln und ausrechnen

Answer 2

x^4+81=0

Substitution:

u=x^2

u^2=-81=81i^2  →

u₁=9i

x^2=9i

x₁=3\( \sqrt{i} \)

x₂= -3\( \sqrt{i} \)

Einschub:

\( \sqrt{i}=\sqrt{\frac{2 i}{2}}=\sqrt{\frac{1+2 i-1}{2}}=\sqrt{\frac{1+2 i+i^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2 \cdot\left(1+2 i+i^{2}\right)}{4}}=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot(i+1) \)

u₂=-9i

\( x^{2} \) =-9i=9\( i^{2} \)*i

x₃=3i*i=3\( i^{2} \)=-3

x₄=3