Nullstellen berechnen bei Variablen unter der 3ten-Wurzel

Question

Ich habe folgende Aufgabe. Es müssen die Null-Stellen berechnet werden:

Y=³ √(X²) - 1/4X²

Wie berechne ich es? Ich finde auch keine Erklärung dazu. Danke

Comments

Vielen Dank für die Hilfe. D.h. aber, dass ich 3 Nullstellen habe, N1= -2,8, N2= 0 und N3= 2,8

Danke und Prosit neu Jahr :-)

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bitte nicht als "Antwort" posten, sondern als Kommentar bei einer Antwort Deiner Wahl, mit der Bitte, er solle weiterhelfen/kontrollieren ;).

Zur Frage: Ich würde vielmehr sagen "oder". Und nicht "und". Bzw. für mich macht obige Funktion nur Sinn für x ≥ 0, weswegen die negative Lösung entfällt ;).

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@unknown
Die Frage ist noch nicht endgültig geklärt.
f ( 2.8 ) = f ( - 2.8 ) = 0
da x nur im Quadrat vorkommt.
Mein Matheprogramm verhält sich zwiespältig.
Ergebnisse wie anlilorac.
Der Graph wird allerdings wie folgt gezeichnet.

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Ich glaube schon, dass normalerweise alles

was mit Bruchzahlen als Exponent zu tun hat nicht für

negative x-Werte betrachtet wird, obwohl es ja 

z.B. bei x^1/3 möglich wäre. Dann hätte man aber

das Problem, dass man nicht erweitern kann, denn

bei x^2/6  ist es ja je nach Berechnungsreihenfolge

(x^2)^1/6  oder  (x^1/6 )^2 problematisch.

Answer 1

Die rechte Seite ist so, wie sie da steht, für alle reellen Zahlen definiert. Wenn wir auf das Umformen in Potenzen mit rationalen Exponenten verzichten und statt dessen elementar umformen, bekommen wir:

$$ 0 = \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } - \frac { 1 }{ 4 } \cdot x^2 $$

$$ 0 = \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } - \frac { 1 }{ 4 } \cdot \left(\sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \right)^3$$

$$ 0 = \frac { 1 }{ 4 } \cdot \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \cdot \left(4 - \left(\sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \right)^2 \right)$$

$$ 0 = \frac { 1 }{ 4 } \cdot \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \cdot \left(2 - \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \right) \cdot \left(2 + \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \right)$$

Nur die beiden mittleren Faktoren können Null werden:

$$ 0 = \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } \quad\lor\quad 0 = 2 - \sqrt [ 3\,\, ]{ x^2 } $$

$$ x = 0 \quad\lor\quad x^2 = 8 $$

$$ x = 0 \quad\lor\quad x = 2\cdot\sqrt{2} \quad\lor\quad x = -2\cdot\sqrt{2}. $$

Answer 2

Y=³ √(X²) - 1/4X² = 0

³ √(X²) = 1/4*x^2

x^{2/3} = 1/4*x^2    |:x^{2/3} und dann *4 , dabei x = 0 ausgeschlossen

4 = x^{2 - 2/3}

4 = x^{4/3}

Das vollens lösen (Wurzel ziehen).

x = 0 ist auch eine Lösung.

Grüße

Answer 3

Y=³ √(X²) - 1/4X² 
Schreib doch so:
y= x^{2/3} - 0,25*x^2  = 0
Dann kannst du x^{2/3} ausklammern und hast
   x^{2/3} * ( 1 - 0,25*x^{4/3} ) = 0
also       x^{2/3} = 0    oder 1 - 0,25*x^{4/3} = 0

also x=0   oder   1 = 0,25*x^{4/3}  |*4
                             4 =  x^{4/3}  | hoch 3
                             64 = x^4
                              x=wurzel(8)  (oder -wurzel(8), je nachdem, wie genau ihr mit den Wurzeln seid)

Comments

Hallo Mathef,

dies hat jetzt nichts mit der Frage zu tun.
Deine Antworten sehen häufig etwas unformatiert aus
und sind damit nicht ganz so gut leserlich.
Besser wäre für mich :

Y = ³ √(X²) - 1/4X² 

Schreib doch so:
y = x^2/3 - 0,25*x²  = 0 

Dann kannst du x^2/3 ausklammern und hast
x^2/3 * ( 1 - 0,25*x^4/3 ) = 0 

also x^2/3 = 0   
oder
1 - 0,25*x^4/3 = 0

also x=0  
oder  
1 = 0,25*x^4/3  |*4
4 =  x^4/3  | hoch 3
64 = x⁴
x = √ 8  oder x = - √ 8
je nachdem wie genau ihr mit den Wurzeln seid

mfg Georg

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stört dich das mit den Wurzeln ?

Kommt vielleicht bei mir von einer

gewissen Nähe zur Informatik, da muss

man ja manchmal mit den Spezialzeichen etwas

vorsichtig sein.

Guten Rutsch wünscht

mathef

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Eigentlich stört mich nicht so sehr die Verwendung oder Nichtverwendung
des Wurzelzeichens sondern  ( da ich auch Programmierer war )
(* Scherzmodus an *)
Deine Antworten sehen aus wie der Basic - Spagetti - Code von
dunnemals und nicht wie klarer Pascal Code
(* Scherzmodus aus*)

Ansonsten
for l := 1 to 1000 do writeln(´Gutes neues Jahr´)

mfg Georg

Answer 4

Eine Lösung fällt auf

x = 0

Eine weitere wäre

Comments

@Georg: Mir ist schon öfters aufgefallen, dass Du für x^{4/3} = 4 oder Ähnliches den Logarithmus bemühst Oo.

Der Logarithmus kommt eigentlich zur Verwendung, wenn die Unbekannt im Exponenten sitzt! So ist das deutlich zu umständlich.

Wurzel ziehen (siehe die anderen Antworten) ist hier das naheliegende Vorgehen ;).

Grüße und guten Rutsch

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@unknown
Meine Vorgehensweise  mit ln () hat eigentlich nur einen Grund.
Ich habe das Jonglieren mit Potenzen nie gelernt.

Wie vielleicht bekannt bin ich Autodidakt und habe mir die
" höhere Mathematik " in den letzten 5 jahren selbst beigebracht.

Daher liegt Wissen und " abgrundtiefes Nichtwissen " bei mir nahe
beieinander. Verbesserungen sind aber noch möglich.

Ein gutes neues Jahr wünsche ich.

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Dann lege ich Dir das Aneignen (bzw. viel besser: das Erkennen) der Anwendung der alternativen Möglichkeit ans Herz ;).

Answer 5

Vorschlag zur vollständigen Lösung in lesbarer Formatierung:

$$ 0=\sqrt[3]{x^2}- \frac 14 x^2 $$
$$ 4 \cdot\sqrt[3]{x^2}=  x^2 $$
$$ 4 ^3  \, {x^2}=  x^6 $$
$$z=x^2$$
$$0= z^3-4 ^3  \, z $$
$$0= z\cdot (z^2-4 ^3 ) $$
$$z_1=0$$$$x_{1,2}=0$$
$$0= z^2-4 ^3  $$
$$ z^2=4 ^3  $$
$$ z_2=+8  $$
$$ z_3=-8  $$
$$ x_3=+\sqrt8$$
$$ x_4=-\sqrt8$$
$$ x_5=+i\sqrt8$$
$$ x_6=-i\sqrt8$$

Probe nicht vergessen - es könnten ungültige Lösungen entstanden sein, da die Gleichung potenziert wurde.

Comments

Ab der 3.Zeile könnte es ein wenig rascher weitergehen

4^3 * x^2 = x^643x
x = 0
4^3 = x^4

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Abgesehen von der fehlenden Überprüfung dessen, was was du postest um Missverständnisse zu vermeiden: ich nehme an, 43x am Ende sollten nicht mitkopiert werden ...

... würdest Du bei der "etwas schnelleren" Methode durch die Variable teilen, was grundsätzlich zu vermeiden ist, weil dadurch Lösungen verloren gehen können. Hier wäre bei der Division durch x ausgeschlossen, dass x als Lösung Null werden dürfte - nur blöd, dass x=0 eben eine der Lösungen ist!

Das mag bei solchen Übungen wie dieser noch überschaubar sein, aber wenn man solch schlechten Stil pflegt, kann es bei eine praktischen Anwendung, die meist komplizierter und nicht so schön als Aufgabe aufbereitet ist, zu dramatischen Fehlschlüssen kommen.

Grundsätzlich ist Systematik, Nachvollziehbarkeit und Überschaubarkeit jeglichen vermeintlichen Geschwindigkeitsvorteilen der Vorrang zu gewähren.

Ein schnelles falsches Ergebnis gibt keine Punkte, sondern der Weg zur Lösung wird bewertet.