Wie ist die 3.Wurzel der Komplexen Zahl?

Question

Z^3 = -2i

Kann mir einer sagen wie ich den Winkel alpha bekomme?

ich teile ja etwas dann durch Null.

Answer 1

Genau deshalb gibt es die erweiterte atan2(x,y) Funktion, um Argumente ohne zig Fallunterscheidungen sofort anwenden zu können und keine 1/0 Betrachtung zu haben.

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

findet man nicht nur die Gesetze und das Ergebnis in 3 Schreibweisen:

sondern auch die Funktion atan2(x,y) und wie sie mit atan und sgn (Vorzeichenfunktion)

gebildet wird. Die Fallunterscheidung steckt somit in sgn:

kleiner 0 : -1

== 0 : 0

größer 0: 1

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens_und_Arkuskotangens#Der_.E2.80.9EArkustangens.E2.80.9C_mit_zwei_Argumenten

Natürlich kommen noch die Vielfachwinkel wie das Ergebnis

2^{1/3}*i dazu, denn (2^{1/3}*i)^3 ist auch -2i

Answer 2

"ich teile ja etwas dann durch Null."

z³ = -2i

-2i liegt ja auch nicht in einem Quadranten sondern auf einer der Achsen.

Die Winkel der Achsen solltest du kennen.

Zeichne -2i ein und miss im Gegenuhrzeigersinn von der (pos) reellen Achse aus.

Ich komme auf arg(-2i) = phi = 270° im Bogenmass arg(-2i) =  phi = 1.5*π . 

Nachher ist das n in der Formel übrigens der Exponent von z. D.h. du musst arg(phi) durch 3 und nicht durch 0 teilen. 

Answer 3

allgemeine Anleitung:

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

                       bei dir  n=3 ,  w = - 2i        ( a=0 , b = - 2 )

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² +b²)  und  φ_w =  arccos(a/r) wenn b≥0     [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

                ( mit dem cos kann man sich das einfacher merken als mit dem tan !)

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

Kontrolllösung (Rechnerlösung):

z ≈ 1.259921049·i  ∨  z ≈  -1.091123635 - 0.6299605249·i 

                                ∨  z ≈   1.091123635 - 0.6299605249·i   

Gruß Wolfgang