Induktionsbeweis für Summenformel mit Fakultäten

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion:

\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) k*k! = (n+1)!-1

Problem/Ansatz:

♦ Induktionsanfang geht für n=1 schon einmal auf.

♦ Induktionsvoraussetzung ist \( \sum\limits_{k=1}^{n} \) k*k! = (n+1)!-1

♦ Induktionsschritt (n->n+1):

- Ich erhalte \( \sum\limits_{k=1}^{n+1} \) k*k! = \( \sum\limits_{k=1}^{n} \) k*k! + (n+1)*(n+1)!

- Wenn ich die Induktionsvoraussetzung hinzu ziehe gilt es dann zu zeigen:

\( \sum\limits_{k=1}^{n} \) k*k! + (n+1)*(n+1)! = ((n+1)+1)-1

Jetzt ist er Punkt erreicht an dem ich nicht mehr weiterkomme.

Wie muss ich das umformen um auf das richtige Ergebnis zu kommen?

Ich weiss dass (n+1)! = n!*(n+1) ergibt, aber das hilft mir nicht weiter.

Oder habe ich doch vorher etwas falsch gemacht?

Vielen Dank schon mal! 

Answer 1

Bis hierhin stimmt alles.

\(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n k\cdot k! + (n+1)\cdot (n+1)!\)

\(= (n+1)! - 1 + (n+1)\cdot (n+1)! \\ = (n+1)! - 1 + (n+1)^2 \cdot n! \\ = (n+1)\cdot n! + (n+1)^2 \cdot n! - 1 \\ = n! ((n+1) + (n+1)^2) - 1 \\ = n! ((n+1) \cdot (n+2)) - 1 \\ = (n+1)! \cdot (n+2) -1 \\ = (n+2)! - 1 \\ = ((n+1) + 1)! - 1 = \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1} k\cdot k! \)

Comments

Super, besten Dank!

Answer 2

Aloha :)

Deine Rechnungen sind soweit korrekt. Zur Durchführung des Induktionsschritts, setzt du die Induktionsvoraussetzung ein:$$\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=\sum\limits_{k=1}k\cdot k!+(n+1)(n+1)!=\left[(n+1)!-1\right]+(n+1)(n+1)!$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\cdot k!}=(n+1)!-1+n(n+1)!+(n+1)!=n(n+1)!+2(n+1)!-1$$$$\phantom{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\cdot k!}=(n+2)(n+1)!-1=(n+2)!-1=(\,(n+1)+1\,)!-1\quad\checkmark$$