A=(Matrix) Orthogonal wenn α²=β²+ϒ²=1

Question

Aufgabe: Zeigen Sie

A=

α	0	0
0	β	-ϒ
0	ϒ	β

ist genau dann orthogonal, wenn α²=β²+ϒ²=1 gilt.

Problem/Ansatz: Mir ist leider nicht ganz klar wie, ich an dieses Aufgabe lösen soll.

Answer 1

Aloha :)

$$A\cdot A^T=\left(\begin{array}{c}\alpha & 0 & 0 \\0 & \beta & -\gamma\\0 & \gamma & \beta\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}\alpha & 0 & 0 \\0 & \beta & \gamma\\0 & -\gamma & \beta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\alpha^2 & 0 & 0 \\0 & \beta^2+\gamma^2 & 0\\0 & 0 & \beta^2+\gamma^2\end{array}\right)$$Du erkennst, dass wir rechts die Einheitsmatrix genau dann erhalten, wenn \(\alpha^2=1\) und \(\beta^2+\gamma^2=1\) ist.

Answer 2

Multipliziere A mit A^T. Vergleiche die Werte auf der Hauptdiagonalen mit denen der Einheitsmatrix.

Daraus ergibt sich direkt die Gleichung.