Zusammenhang schiefsymmetrische und orthogonal matrix

Question

Zeigen Sie: Für \( A \in \mathbb{R}_{\text {schief }}^{n \times n} \operatorname{mit} \chi_{A}(1) \neq 0 \) gilt \( \left(A-E_{n}\right)^{-1}\left(A+E_{n}\right) \in \mathbb{R}_{\text {orth }}^{n \times n} \).

Wir sollen zeigen, dass für A∈Schiefsymm. mit χA (1)≠0 gilt (A-E)^-1(A+E)∈orthogonal

Für A schief gilt A^T = -A und für A orthogonal gilt A^T = A^-1 Mir fehlt hier mal wieder komplett der Ansatz...A zerfällt meiner Meinung nach mit der obigen Bedingung vollständig in Linearfaktoren. Die Eigenwerte der Matrix sind orthogonal... und dann?

Answer 1

Hallo,

hier hilft furchloses Nachrechnen. Benutze folgende Regeln für Matrizen: \((P^{-1})^T=(P^T)^{-1}\) und \((PQ)^T=Q^T P^T\).Damit:

$$(A-E)^{-1}(A+E)\left[(A-E)^{-1}(A+E)\right]^T=(A-E)^{-1}(A+E)(A^T+E)(A^T-E)^{-1}$$

$$=(A-E)^{-1}(A+E)(-A+E)(-A-E)^{-1}$$

$$=(A-E)^{-1}(-A+E)(A+E)(-A-E)^{-1}=E$$

Gruß

Comments

Oh... Danke Dir...