Ähnlichkeit von Dreiecken

Question

Aufgabe:

a) Zeige, dass die Dreiecke I bis IV ähnlich sind.

b) Berechne die Streckenlängen x und y.

Answer 1

Es muss gezeigt werden, dass alle Dreiecke in den Winkeln übereinstimmen.

Jedes Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Summe der beiden anderen beträgt daher immer 90°. Nenne einen Winkel im 1. Dreieck \(\alpha\), dann ist der andere \(90^\circ-\alpha\). Bei E findest du, dass der Winkel im 2. Dreieck auch \(\alpha\) sein muss.

Usw.

Da die Dreiecke ähnlich sind, gilt 4:3=3:x=(4-x):y

Also x=2,25; y=...

Answer 2

Sie stimmen jeweils in den entsrechenden Winkeln überein.

Jeweils einer ist 90° und die beiden anderen ergänzen sich zu 90°

wobei immer einer aus einem Dreieck mit einem aus dem anderen

Dreieck sich auch zu 90° ergänzt, also etwa oben der von II mit

unten dem von III.

Somit gilt bei II und I wegen der Ähnlichkeit:

x / 3 =   3/4    | *12

4x = 9

 x = 9/4 = 2,25

und bei II und III hast du

x / 3  = y / (4-x)

<=>  2,25 / 3 = y / 1,75

gibt y = 1,3125