Koordinatengleichung der Ebene E in eine Punkt-Richtungs-Form umwandeln

Question

Aufgabe:

Eine Ebene \( E \) sei gegeben durch die Koordinatengleichung
$$ 3 x-4 y+3 z=2 $$
Bestimmen Sie eine Punkt-Richtungs-Form \( \vec{r}(\lambda, \mu)=\vec{r}_{1}+\lambda \vec{a}+\mu \vec{b} \) der Ebene \( E, \) bei der die beiden Richtungsvektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) senkrecht aufeinander stehen.

Problem/Ansatz:

Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich das lösen kann!

Answer 1

E:  3x - 4y + 3z=2.

Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich das lösen kann!

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, dies zu lösen.

Wähle irgendeinen Punkt P auf E als Stützpunkt. Bsp. P(0, -1/2, 0) .

Die Richtungsvektoren müssen als Erstes senkrecht auf  dem Vektor n = (3, - 4, 3) stehen.

Das gilt z.B. für a = (1, 0, -1) oder auch für b = (4, 3, 0). Weisst du, warum diese beiden Vektoren senkrecht auf Vektor n stehen? 

[spoiler]

a und b stehen allerdings noch nicht senkrecht aufeinander.

Ein Vektor, der senkrecht auf n und a steht, ist z.B. c = n x a.

Dann ist E: r = (0, -1/2, 0) + t*(1,0,-1) + s*c mit t und r Element ℝ eine mögliche Antwort auf die vorliegende Frage. (Vektoren fett)

Answer 2

Angenommen y=s, z=r als Parameter gesetzt

\[ \left\{ x = \frac{4}{3} \; y - z + \frac{2}{3} \right\}\]

ergibt die Richtungsvektoren

u:=(-1,0,1), (4,3,0)

und suchen per linearkombination einen senkrechten dazu

((−1,0,1)+l (4,3,0))(−1,0,1)=0

====> l=1/2 ===> \[v \, :=  \, \left( \begin{array}{r}1\\\frac{3}{2}\\ 1\\ \end{array} \right)\]

Also

E(r,s)≔((2)/(3),0,0)+r u+s v