Umkehrfunktion berechnen und den Def. Bereich von f(x)

Question

Aufgabe: f(x) = (ln(x))/(1+ln(x))

Problem/Ansatz: Ich habe Schwierigkeiten da überhaupt einen Ansatz zu finden. Bei dem Def. Bereich habe ich raus, dass x im Intervall liegen muss { ]0,unendl.[ \ e } aber sicher bin ich mir auch nicht. Und bei der Umkehrfkt. komme ich irgendwie nicht weiter. Bitte Hilfe. Hab irgendwas raus mit f^-1(x) = (e^x)/(1-e^x). Der Online Umkehrfunktionsrechner sagt aber:

f^-1(x) = e^-(x/(x-1))

Answer 1

D = ]1/e; oo[

Die Umkehrfunktion lässt sich nicht ermitteln.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+lnx%2Fln%28x%2B1%29

Comments

Na wenn Wolfram Alpha das sagt...

Und f(0.2) kann ich i.Ü. berechnen.

Answer 2

Die Umkehrfunktion des Onlinerechners ist richtig. Man kann aber auch schreiben: f(x)=\( e^{x/(1-x)} \) .

Comments

Wie geht die Umstellung nach x? Komme einfach nicht drauf.

---

Ich setze y=f(x),dann ist

y=\( \frac{ln(x)}{1+ln(x)} \)

y(1+ln(x))=ln(x)

y+y·ln(x)=ln(x)

y=ln(x)-y·ln(x)

y=ln(x)·(1-y)

\( \frac{y}{1-y} \) =ln(x)

e^y/(1-y)=x

Variable vertauschen und danach für y wieder f(x) setzen.  

---

wo genau habe ich den Fehler gemacht dann?

y+y·ln(x) = ln(x) | ·e

e^y+y·x = x

e^y = x-x·y

e^y = x(1-y) | :(1-y)

e^y ÷ 1-y = x

Variablen vertauschen - fertig. Wo ist der Fehler? Ist y·ln(x) mit exp fkt. multipliziert gleich y·x ? Wenn dann ist der Fehler da.

---

Schon deine zweite Zeile ist falsch. Du verstößt gegen die Regel: TermA=TermB ⇔e^TermA=e^TermB.

---

okay, vielen Dank !