Aufgabe: f(x) = (ln(x))/(1+ln(x))
Problem/Ansatz: Ich habe Schwierigkeiten da überhaupt einen Ansatz zu finden. Bei dem Def. Bereich habe ich raus, dass x im Intervall liegen muss { ]0,unendl.[ \ e } aber sicher bin ich mir auch nicht. Und bei der Umkehrfkt. komme ich irgendwie nicht weiter. Bitte Hilfe. Hab irgendwas raus mit f^-1(x) = (e^x)/(1-e^x). Der Online Umkehrfunktionsrechner sagt aber:
f^-1(x) = e^-(x/(x-1))
D = ]1/e; oo[
Die Umkehrfunktion lässt sich nicht ermitteln.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=invert+lnx%2Fln%28x%2B1%29
Na wenn Wolfram Alpha das sagt...
Und f(0.2) kann ich i.Ü. berechnen.
Die Umkehrfunktion des Onlinerechners ist richtig. Man kann aber auch schreiben: f(x)=\( e^{x/(1-x)} \) .
Wie geht die Umstellung nach x? Komme einfach nicht drauf.
Ich setze y=f(x),dann ist
y=\( \frac{ln(x)}{1+ln(x)} \)
y(1+ln(x))=ln(x)
y+y·ln(x)=ln(x)
y=ln(x)-y·ln(x)
y=ln(x)·(1-y)
\( \frac{y}{1-y} \) =ln(x)
ey/(1-y)=x
Variable vertauschen und danach für y wieder f(x) setzen.
wo genau habe ich den Fehler gemacht dann?
y+y·ln(x) = ln(x) | ·e
ey+y·x = x
ey = x-x·y
ey = x(1-y) | :(1-y)
ey ÷ 1-y = x
Variablen vertauschen - fertig. Wo ist der Fehler? Ist y·ln(x) mit exp fkt. multipliziert gleich y·x ? Wenn dann ist der Fehler da.
Schon deine zweite Zeile ist falsch. Du verstößt gegen die Regel: TermA=TermB ⇔eTermA=eTermB.
okay, vielen Dank !
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