k Element N für eine invertierbare Matrix angeben

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper. A Element der nxn Matrizen invertierbar.

Zu zeigen ist es exisiterirt ein k Element N sodass A hoch minus 1= A hoch k

Problem/Ansatz:

Mein Vorschlag wäre k eins zu setzen, aber dann würde ich ja A*A = A hoch 2 erhalten was nicht die Einheitsmatrix ist.

Wäre super wenn mir jemand einen Denkanstroß geben könnte. Ich glaube die Aufgabe ist nicht schwer, aber komme nicht ganz klar.

Comments

So ist die Aussage sicher falsch. Die Inverse von A ist aber darstellbar als Linearkombination der Matrizen A^k.

---

Diese Aufgabe wurde exakt so in einer Altklausur gestellt. Wie müsste ich dann k wählen um ein Ergebnis zu erhalten?

---

Diese Aufgabe wurde exakt so in einer Altklausur gestellt. Wie müsste ich dann k wählen um ein Ergebnis zu erhalten?

Beispiel
[2, 0; 0, 2]^(-1) = [2, 0; 0, 2]^k
gilt nur für k = -1 und damit ist k ja nicht mehr Element n.

---

ja das macht sinn, d.h. es kann gar kein k gefunden werden?

---

Kann es sein, dass K ein endlicher Körper ist? Dann würde es Sinn machen. 

---

Oh ja Okeii sorry ich habe diese Angabe vergessen!!

Aber mir ist immer noch nicht klar wie ich das dann lösen muss

---

Siehe auch hier:

https://www.mathelounge.de/700030/m-ist-genau-dann-invertierbar-wenn-ein-k-existiert-sodass-in

Answer 1

Wenn K ein endlicher Körper ist, dann ist GL(n,K) (die übliche Bezeichnung für die invertierbaren n x n Matrizen) eine endliche Gruppe. Jedes Element A der Gruppe hat eine endliche Ordnung m, dann kann man k = m - 1 wählen. Für die Einheitsmatrix funktioniert sogar jeder natürliche Exponent.

Comments

Alles klaro!! vielen Dank für die Antwort