Aloha :)
Das ist die Formel für den Erwartungswert \(\langle x\rangle\) einer normal-verteilten Zufallsgröße:$$\langle x\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty x\cdot\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\right)\,dx$$Ich würde das Integral zunächst normalisieren und dann für den normalisierten Fall berechnen. Dazu substituiere:$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}\quad;\quad \frac{dz}{dx}=\frac{1}{\sigma}\;\text{ bzw. }\;dx=\sigma\,dz\quad;\quad z(-\infty)=-\infty\quad;\quad z(\infty)=\infty$$Damit erhalten wir:$$\langle x\rangle=\int\limits_{-\infty}^\infty\left(z\sigma+\mu\right)\cdot\frac{1}{\sigma\,\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,\sigma\,dz=\int\limits_{-\infty}^\infty\left(z\sigma+\mu\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,dz$$$$\phantom{\langle x\rangle}=\sigma\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty z\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,dz}_{=0}+\mu\underbrace{\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2}\,dz}_{=1}=\mu$$Das erste Integral ist \(=0\), weil der Integrand punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Das zweite Integral ist \(=1\), weil normal-verteilte Wahrscheinlichkeitsdichten normiert sind.
Du brauchst also eigentlich nur das Integral, was zu \(1\) wird, numerisch zu berechnen und hast damit gezeigt, dass das oben gegebene Integral für alle mögichen Werte \(\mu,\sigma\) den Wert \(\mu\) annimmt.
