Aloha :)
Du kannst jede Normalverteilung mittels der Transformation$$z:=\frac{x-\mu}{\sigma}$$auf eine Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) mit Erwartungsert \(0\) und Standardabweichung \(1\) zurückführen. Die Funktion \(\Phi(z)\) ist tabelliert und kann von guten Taschenrechnern berechnet werden. \(\Phi(z)\) ist die Wahrscheinlichkeit, mit der eine standard-normalverteilte Zufallsvariable \(Z\) einen Wert \(\le z\) annimmt, d.h.$$\Phi(z)=P(Z\le z)$$Damit gehen wir nun an dein Problem heran:
$$P(X<50)=0,27$$$$P(X>52)=1-P(X\le52)=0,13\quad\Leftrightarrow\quad P(X\le52)=0,87$$Wir tun so als würden wir den Erwartungswert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) von \(X\) kennen und führen die Transformation von oben durch:
$$0,27=P(X<50)=\Phi\left(\frac{50-\mu}{\sigma}\right)\quad;\quad0,87=P(X\le52)=\Phi\left(\frac{52-\mu}{\sigma}\right)$$Nun nutzen wir die Umkehrfunktion \(\Phi^{-1}\), um \(\mu\) und \(\sigma\) zu extrahieren:
$$\Phi^{-1}(0,27)=\frac{50-\mu}{\sigma}\quad;\quad\Phi^{-1}(0,87)=\frac{52-\mu}{\sigma}$$$$-0,612813=\frac{50-\mu}{\sigma}\quad;\quad1,126391=\frac{52-\mu}{\sigma}$$Das führt uns zu dem kleinen Gleichungssystem:
$$\begin{array}{r}-0,612813\sigma&+&\mu&=&50\\1,126391\sigma&+&\mu&=&52\end{array}\;\;\Rightarrow\;\;1,739204\sigma=2\;\;\Rightarrow\;\;\sigma=1,149951$$Damit haben wir folgende Lösung:$$\mu\approx50,7047\,mm\quad;\quad\sigma\approx1,1500\,mm$$
