Aufgabe:
Zur Schätzung des Mittelwertes einer Grundgesamtheit mit einer Stichprobe vom Umfang \( n>3 \) stehen Ihnen die 3 Schätzer
(1) \( \hat{\mu}_{1}=\frac{1}{n-1} \sum \limits_{i=3}^{n} x_{i} \)
(2) \( \hat{\mu}_{2}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \)
(3) \( \hat{\mu}_{3}=\frac{x_{1}+x_{n}}{2} \)
zur Auswahl. Die Zufallsvariablen \( X_{i} \) sind unabhängig und identisch verteilt. Es gelte \( E\left(X_{i}\right)=\mu \) und \( V\left(X_{i}\right)=\sigma^{2} \).
a) \( \hat{\mu}_{3} \) ist effizienter als \( \hat{\mu}_{1} \).
b) \( \hat{\mu}_{1}, \hat{\mu}_{2} \) und \( \hat{\mu}_{3} \) sind konsistent.
c) \( \hat{\mu}_{1}, \hat{\mu}_{2} \) und \( \hat{\mu}_{3} \) sind erwartungstreu.
Problem/Ansatz:
Ich muss den Erwartungswert und die Varianz von Schätzfunktionen bestimmen (siehe unten). Kann mir jemand helfen, von folgenden Schätzern Erwartungswert und Varianz zu bestimmen?
Bei Schätzer 1 habe ich das Problem, dass ich nicht weiß, was mit dem Summenzeichen passiert, wenn ich es ausklammere. Wird es einfach zu "n" ? Ich bin mir nicht sicher, weil es ja erst bei i=3 anfängt zu zählen, wie geht man mit so etwas um?
Bei Schätzer 2 habe ich:
Erwartungswert = (1/n) * mü
Varianz = (1/n^2) * sigma^2
Bei Schätzer 3 habe ich:
Erwartungswert = mü
Varianz = (1/2) * sigma^2
Vielen Dank im Voraus!
