Skalarprodukt Beweis

Question

Aufgabe:

Es bezeichne (x|x) das Standardskalarprodukt auf ℝⁿ.

Sei nun A ∈ ℝ^nxn symmetrisch und positiv definit. Zeigen Sie, dass durch

(x|y)_A := (x|Ay) , für x,y, aus  ℝn ein Skalarprodukt definiert ist.

Hinweis: (x|By) = (B^T x|y).

Problem/Ansatz:

Mein Vorgehen wäre folgendes, wobei ich bei (SP3) nicht weiter komme:

Seien a,b aus ℝ, x,y aus ℝⁿ

(SP1)  (x|x) >= 0. Dann gilt x₁x₁ * x₂x₂ * x₃x₃ = (x₁)² + (x₂)² + (x₃)²  >= 0.

(SP2) (x|Ay) = (Ay|x)

(x|Ay) =Hinweis= (A^Tx|y) =A symmetrisch= (Ax|y)  -> ist das zu knapp?

(SP3) (ax + by | Az) = a(x|y) + b*(y|Az)

Was ich weiss: Da A positiv definit sind alle Eigenvektoren > 0, was wiederum bedeutet, dass die det(A)!=0 ist, dass ker(A) != {0} ist, dass A invertierbar und diagonalisierbar (wegen Symmetrie) ist. Aber wie hilft mir das weiter?

Ist ähnlich aus einer Altklausur wozu ich keine Lösung hab.

LG!

Answer 1

(x|Ay) =Hinweis= (ATx|y) =A symmetrisch= (Ax|y)  -> ist das zu knapp?

Ich glaube, dass das in der Tat was knapp ist.

Es ist doch zu zeigen:  (x|y)_A = (y|x)_A

Nach der Def. von <..,..>_A ist das äquivalent zu

(x|Ay) = (y|xA)  denn es wird immer die

2. Komponente mit A multipliziert.

Nach dem Tipp also

<=> (x|Ay) = (A^Ty|x)

wegen Symmetrie von A

<=> (x|Ay) = (Ay|x)

Wegen Symmetrie des Stand.skalarprod.

<=>   (x|Ay) =  (x|Ay)

Was offenbar stimmt.

Und bei a) und c) musst du auch mit der gegebenen Def. von  (x|y)_A

arbeiten. Bei a) führt das letztlich auf die Definition

der pos. Definitheit von A und bei c) musst du wohl die

Linearität des Stand. Skalarproduktes ausnutzen.

Answer 2

Aloha :)

Zu zeigen: $(x|y)_A:=\langle x|Ay\rangle$ wobei $A=A^T$ und $A$ pos. definit ist.

Wir prüfen, ob $(x|y)$ die Bedingungen an ein Skalarprodukt erfüllt und berücksichtigen dabei, dass es mittels des Standard-Skalarproduktes $\langle\cdot|\cdot\rangle$ definiert ist.

1) Symmetrie:$$(y|x)_A=\langle y|Ax\rangle=\langle A^Tx|y\rangle\stackrel{(A=A^T)}{=}\langle Ax|y\rangle\stackrel{\langle\cdot|\cdot\rangle\text{ sym.}}{=}\langle x|Ay\rangle=(x|y)_A$$2) Lineariät:

Wegen der Linearität des Standard-Skalarpdoduktes ist auch $(x|y)_A$ in der ersten Komponente linear. Wegen der in 1) gezeigten Symmetrie von $(x|y)_A$ gilt diese Linearität auch für die zweite Komponente.

3) Positive Definitheit:$$(x|x)_A=\langle x|Ax\rangle>0\quad\forall x\ne0\quad,\text{weil } A\text{ pos. definit ist.}$$$$(x|x)_A=0\;\;\Rightarrow\;\;\langle x|Ax\rangle=0\;\;\Rightarrow\;\;x=0\quad\text{Eigenschaft von }\langle\cdot|\cdot\rangle$$$$x=0\;\;\Rightarrow\;\;\langle x|Ax\rangle=0\;\;\Rightarrow\;\;(x|x)_A=0$$Damit ist gezeigt:$$(x|x)_A\ge0$$$$(x|x)_A=0\quad\Leftrightarrow\quad x=0$$

$(x|y)_A$ erfüllt alle 3 Bedingungen an ein Skalarprodukt $\checkmark$.