Nun, der Abstand eines Punktes von einer geraden ist die Länge der Strecke, die vom Punkt P zu der Geraden läuft und auf dieser senkrecht steht.
Die Steigung m2 der Trägergeraden dieser Strecke ergibt sich aus der Steigung m1 = ( 4 / 3 ) der Geraden g und der angegebenen Beziehung
m1 * m2 = - 1
Diese ist äquivalent zu
m2 = - 1 / m1 = - 1 / ( 4 / 3 ) = - ( 3 / 4 )
Setzt man diese Steigung in die allgemeine Geradengleichung
y = m x + b
ein so erhält man
y = - ( 3 / 4 ) x + b
aus der man dann durch Umformung den Wert des y-Achsenabschnitts b bestimmen kann:
<=> b = y + ( 3 / 4 ) x
Da die Gerade durch den angegebenen Punkt P ( 8 | 2 ) laufen soll, müssen dessen Koordinaten die Geradengleichung erfüllen, also kann man sie dort einsetzen und erhält:
b = 2 + ( 3 / 4 ) * 8 = 8
Somit lautet die Gleichung der Trägergeraden, die durch den Punkt P läuft und senkrecht auf der Geraden g steht:
y = - ( 3 / 4 ) x + 8
Nun muss man noch den Schnittpunkt S der beiden Geraden bestimmen, also setzt man ihre Funktionsterme gleich:
( 4 / 3 ) x - (1 / 3 ) = - ( 3 / 4 ) x + 8
<=> ( 16 / 12 ) x + ( 9 / 12 ) x = 25 / 3
<=> ( 25 / 12 ) x = 25 / 3
<=> x = 4
Die x-Koordinate des Schnittpunktes S ist also x = 4
Die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen der x-Koordinate in eine der beiden Geradengleichungen (ich nehme die erste:)
y = ( 4 / 3 ) x - (1 / 3 ) = ( 4 / 3 ) * 4 - (1 / 3 ) = ( 15 / 3 ) = 5
Somit lauten die Koordinaten des Schnittpunktes S
S ( 4 | 5 )
Die Entfernung d zwischen dem Punkt P und dem Punkt S berechnet man nun mit der angegebenen Abstandsberechnungsformel. Das überlasse ich nun dir.
Zur Kontrolle:
d = 5
