In Quantoren-Schreibweise?

Question

Aufgabe:

"Für jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, gibt es einen Vorgänger, der kleiner ist um 1."

Problem/Ansatz:

∀ x ∈ ℕ , x > 1 : ∃ y = x - 1

oder ∀ x ∈ ℕ , x > 1 : ∃₁ y = x - 1

oder ∀ x ∈ ℕ , x > 1 : ∃ y ∈ ℕ , y = x - 1

Comments

Vom Duplikat:

Titel: QUANTOREN: Für jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, gibt es einen Vorgänger, der kleiner ist um 1.

Stichworte: quantoren

Aufgabe:

"Für jede natürliche Zahl, die größer ist als 1, gibt es einen Vorgänger, der kleiner ist um 1."


Problem/Ansatz:

∀ x ∈ ℕ , x > 1 : ∃ y = x - 1

oder ∀ x ∈ ℕ , x > 1 : ∃1 y = x - 1

oder ∀ x ∈ ℕ , x > 1 : ∃ y ∈ ℕ , y = x - 1

Answer 1

Das erste ist formal unsauber. Das zweite ist eine stärkere Aussage, die zwar auch richtig, aber nicht formuliert ist. Das dritte wird das sein, was akzeptiert wird.

Sind wir ganz penibel, wäre

$$ \forall x \in \mathbb N: (x > 1 \implies \exists y \in \mathbb N: y = x - 1) $$

die richtige Lösung, denn in Allaussagen gestellte Bedingungen (wie hier \( x > 1 \)) sind eigentlich Prämissen der sich ergebenden Implikation: Für alle \(n \in \mathbb N\) (Allaussage) gilt: Wenn \( x > 1 \) (Prämisse) ist, dann existiert ein natürlicher Vorhänger (Konklusion).

Allerdings wird die Form wie du sie in der dritten Aussage verwendet hast in der Regel aus Bequemlichkeit verwendet (weil klar ist, was damit gemeint ist). Es ist aber auch nicht blöd, im Hinterkopf zu behalten, was das eigentlich für eine Aussage ist (nämlich eine Implikation, keine Existenzaussage für alle \(x\)).

Answer 2

Ich halte das erste für richtig; denn dass es GENAU einen Vorgäger

gibt ist ja in der sprachlichen Version nicht gesagt

und auch nicht, dass dieser Vorgänger eine

natürliche Zahl ist.  Das stimmt zwar beides, wird aber nicht

formuliert.