Trigonometrie (Flächeninhalt von gleichschenkligen Dreieck beweisen)

Question

bei dieser Aufgabe weiß ich leider nicht wie ich vorgehen soll,ich habe schon eine Skizze angefertigt,aber sie hilft mir leider nicht weiter,könnte mir bitte jemand helfen das zu erklären wie das geht und was ich machen soll? :)

a) Beweise: Für den Flächeninhalt A bei einem gleichschenkligen Dreieck mit den Schenkeln a und dem Basiswinkel α gilt :

A= \( \frac{1}{2} \)a² * sin (2α)

Comments

Kennst Du die Additionstheoreme der Trigonometrie?

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nein,dass hatten wir noch net sind nur bis zu den sinussätzen gekommen

Answer 1

A = 1/2 · a² · sin (2α)

A = 1/2 · a² · sin (180° - 2α)

A = 1/2 · a² · sin (γ)

da sin(γ) = ha / a

A = 1/2 · a² · ha / a

A = 1/2 · a · ha

passt.

Answer 2

Aloha :)

Ein gleichschenkliges Dreieck kannst du an seiner Symmetrieachse durchschneiden. Du erhältst 2 rechtwinklige Dreiecke, die du zu einem Rechteck zusammenlegen kannst. Die beiden Schenkel \(a\) des gleichschenkligen Dreiecks werden zur Hypotenuse der beiden rechwinklingen Dreiecke bzw. zur Diagonalen des Rechtecks. Die Breite (\(b\)) und Höhe (\(h\)) des Rechtecks entsprechen den beiden Katheten der rechtwinklingen Dreiecke.

Nach der Definition von Sinus und Cosinus gilt:$$\sin\alpha=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{h}{a}$$$$\cos\alpha=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{a}$$Die Fläche \(F\) des Rechecks ist daher:$$F=h\cdot b=a\,\sin\alpha\cdot a\cos\alpha=a^2\,\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{2}a^2\,\sin(2\alpha)$$

Comments

Leider hattest du wohl oben nicht mitbekommen das der Fragesteller noch keine Additionstheoreme etc. in der Schule hatte

nein,dass hatten wir noch net sind nur bis zu den sinussätzen gekommen

Ansonsten aber eine schöne Lösung und vor allem eine schöne Darstellung.