f ist differnzierbar \longleftrightarrow Re z > 1

Question

Aufgabe:

Sei z ∈ C, und sei f : R → C definiert durch f(x) := 0 für x ≤ 0 und f(x) := x^z
für x > 0. Zeige: f ist genau dann im Punkt 0 differenzierbar, wenn Re(z) > 1
gilt.

Answer 1

Hallo,

sei \(z=a+ib\). Dann ist für die Differenzierbarkeitsfrage der Differenzenquotient im Punkt 0 zu betrachten:

$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{x^z}{x}=\frac{\exp((a+ib) \ln(x))}{x}=\frac{\exp(a \ln(x))\exp(ib \ln(x))}{\exp(\ln(x))}$$

Jetzt ist zu beachten, dass der 2. Faktor in Zähler der Betrag 1 hat. Auf die beiden anderen Terme wendet man die Rechenregeln für die Exponentialfunktion an und ...

Gruß

Comments

Hallo,

danke für die Antwort, aber wie genau kann benutzen, dass der Betrag gleich 1 ist?

Damit komm ich dann auf

\(\frac{exp(a\ln(x))}{exp\ln(x)} = x^{a-1} \)

und \(\lim\limits_{x\to0}x^{a-1}\) existiert nur für \(a > 1\).  Und da Voraussetzung ist, dass f an der Stelle x=0 differenzierbar ist, muss Re(z) > 1 sein.

Müsste man bei dieser Funktion auch links- bzw. rechtsseitge differenzierbarkeit beachten?

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Hallo,

wegen des zweiten Faktors: Du hast ein Produkt, sagen wir  \(h(x)=f(x)g(x)\). Du zeigst:  \(f(x) \to 0\) und weißt  \(|g(x)|\) ist beschränkt. Dann folgt mit der Schranke c für g:  \(|h(x)| \leq c |f(x)| \to 0\).

Linksseitiger Diferenzenquotien ist hier 0, weil f linksseitig als 0 definiert ist.

Gruß