Re(z) = Im(j*z) - wieso wahr?

Question

Re(z) = Im(j*z)

Wieso soll das gelten?

Kann mir das jemand bitte verbal "übersetzten"? Ich komme auf: Realteil von z ist Imaginärteil von z mal j.

z ist ja a + bj. Da ist der Realteil a und der Imaginärteil b mal j. Und das ist doch nicht GLEICH!?

Comments

Und was ist \(j*z\) ?

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Imaginärteil b mal j.

Nein. Der Imaginärteil ist nur b. Im(a+bj)=b

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Und was ist j∗zj∗z ?

j mal z ?

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Nein. Der Imaginärteil ist nur b. Im(a+bj)=b

Ja, ok, aber obige Aussage trifft ja dennoch nicht zu.

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j*(a+bj) = -b + aj

Also Re(a+bj) = a

und Im(-b + aj) = a

Answer 1

a + bj. Da ist der Realteil a und der Imaginärteil b (ohne j)

j·(a + bj)) - b+aj. Da ist der Realteil - b und der Imaginärteil a (ohne j)

Comments

Verstehe ich leider nicht so ganz. Inwiefern soll das meine obige Frage beantworten?

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z ist ja a + bj.

a + bj. Da ist der Realteil a und der Imaginärteil b. Also Re(z)=a                      (1)

j·(a + bj)) - b+aj. Da ist der Realteil - b und der Imaginärteil a. Also Im(j·z)=a   (2)

Aus (1) und (2) folgt Re(z) = Im(j*z), denn beides ist a.

Answer 2

Aloha :)

Wir stellen die Zahl komplexe Zahl \(z\) mit Realteil \(x\) und Imaginärteil \(y\) dar:$$z=x+i\,y\quad;\quad x;y\in\mathbb R$$Dann gilt wegen \((\pink{i^2=-1})\):$$\operatorname{Im}(i\cdot z)=\operatorname{Im}(\;i\cdot (x+iy)\;)=\operatorname{Im}(i\,x+\pink{i^2}y)=\operatorname{Im}(\pink-y^2+i\,x)=x=\operatorname{Re}(x+iy)=\operatorname{Re}(z)$$