Hallo DD,
da der Vektorraum Π3 der Polynome vom Höchstgrad 3 die Dimension 4 hat, bildet die 4-elementige Menge {p0, p1, p2, p3} genau dann eine Basis, wenn sie linear unabhängig ist.
Zu zeigen:
α·3 + β·(3 + 2·x) + γ·(3 - 4·x + x^2) + δ·x^3 = 0 → α = 0 ∧ β = 0 ∧ γ = 0 ∧ δ = 0
Ausmultiplizieren und zusammenfassen und nach x-Potenzen sortieren:
δ·x^3 + γ·x^2 + x·(2·β - 4·γ) + 3·α + 3·β + 3·γ = 0
Das Nullpolynom auf der rechten Seite hat für jede x-Potenz den Koeffizienten 0, also muss dass auch auf der linken Seite so sein (Koeffizientenvergleich):
δ = 0 ∧ γ = 0 ∧ 2·β - 4·γ = 0 ∧ 3·α + 3·β + 3·γ = 0
Dieses LGS hat die eindeutige Lösung α = 0 ∧ β = 0 ∧ γ = 0 ∧ δ = 0
Gruß Wolfgang
