Direkter Beweis: Vielfaches

Question

Finden Sie einen direkten Beweis für die Tatsache, dass für jedes n > 4 die Zahl n^3 - n ein Vielfaches von 6 ist.
Ich soll diese Aufgabe ohne Induktion lösen. Doch wie?

Comments

Die Zerlegung n³-n=(n-1)n(n+1) könnte helfen.

Answer 1

ganz einfach, du benutzt die Modulo-Schreibweise:

0^3 - 0 ≡ 0 (mod (6)),

1^3 - 1 ≡ 0 (mod (6)),

2^3 - 2 ≡ 6 ≡ 0 (mod (6)),

3^3 - 3 ≡ 24 ≡ 0 (mod (6)),

4^3 - 4 ≡ 60 ≡ 0 (mod (6)),

5^3 - 5 ≡ 120 ≡ 0 (mod(6)).

Hierbei ist man alle 6 Restklassen (das sind [0], [1], [2], [3], [4] und [5] bei Division durch 6 durchgegangen).

MfG

Mister

PS: Du siehst, wenn man 6 und 0 als Vielfaches (nämlich Einfaches und Nullfaches) von 6 akzeptiert, so gilt die Aussage für alle n ≥ 0.