Rechnen mit imaginären Zahlen , 3te Wurzel ziehen etc.

Question

Aufgabe:

1) Berechnen sie (1-i)²⁰⁰

2) Berechnen Sie \( \sqrt[3]{} \) von Z=-2+2i

3) Lösen sie die Gleichung z²=\( \sqrt{-3+4i} \)

4) Gegeben sind f₁(\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \))= x+y  ;  f₂=(t)= \( \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} t\\2t \end{pmatrix} \)  ;  f₃(t)= \( \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} t*t\\1 \end{pmatrix} \)

  a) Geben Sie an, von wo nach wo (ℝⁿ → ℝ^m) die Abbildung erfolgt.

  b) Untersuchen Sie anschließend, ob es sich hierbei um eine affine, eine lineare oder eben keine von beiden handelt.

Problem/Ansatz:

Bei der Uni setzen wir uns seit neuem mit Imaginären Zahlen auseinander. Wir haben einen Satz Aufgaben bekommen,

bei denen ich eine Menge Probleme habe. Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen.

1) Ich habe mir gedacht, dass man irgendwie einen Ansatz darüber machen kann, dass i² = -1 ist. Also würde das ganze ja ungefähr so aussehen:

    (1¹⁰⁰ - i¹⁰⁰)¹⁰⁰ Allerdings habe ich kein Plan wie ich auf das Ergebnis kommen soll.

2) Mein einziger Ansatz hier, wäre das ganze in Polarkoordinaten umzuwandeln in der Hoffnung, dass mir das weiter hilft. Aber weiter weiß ich leider nicht.

r=\( \sqrt{(-2)*(-2)+2*2} \)=\( \sqrt{8} \)        φ=arctan(\( \frac{2}{-2} \)) + π = 135°

3) Hier wäre mein Ansatz zunächst das ²  vom z wegzubekommen so dass dann steht:

z=\( \sqrt[3]{-3+4i} \)

Allerdings bin ich, dann wieder beim Problem von 2).

4) Bei den Abbildungen bin ich dann komplett hängen geblieben, wäre super wenn mich da jemand Versorgen könnte :).

Vielen Dank schonmal im Voraus für die Antworten.

Answer 1

1) mit Polarform

$$ (1-i)^{200}=2^{100}=1267650600228229401496703205376 $$

Begründung:

$$ |1-i|=\sqrt 2 \Rightarrow (\sqrt 2)^{200}=2^{100}$$

$$\varphi=-45^\circ \Rightarrow 200\cdot(-45^\circ)=25\cdot 8\cdot (-45^\circ)=25\cdot 0^\circ=0^\circ $$

Zu deinem leider falschen Ansatz:

(1-i)^200 ≠ (1^100 - i^100)^100

Mit kleineren Exponenten siehst du selbst, dass das falsch ist.

$$ (a-b)^2\ne (a^1-b^1)^1 $$

2) geht mit Polarform auch am einfachsten

$$z^3=-2+2i$$

$$ |-2+2i|=\sqrt{8} \Rightarrow |z|^3=\sqrt 8 \Rightarrow |z|=\sqrt 2 $$

$$\varphi=135^\circ \Rightarrow \varphi_z=135^\circ/3=45^\circ$$

$$ z= 1+i $$

Außerdem gibt es noch zwei weitere Lösungen, bei denen zum Winkel 120° und 240° addiert werden.

3) Die Wurzel aus der Wurzel ist die 4. Wurzel, nicht die dritte.

$$z=\sqrt[4]{-3+4i}$$

Hier würde ich auch wieder mit der Polarform arbeiten.

Oder du machst den Ansatz z=x+yi. Dann bekommst du aber eine Gleichung 4. Grades mit 4 Lösungen...

Answer 2

Zu 1)

(1-i)⁴=-4

((1-i)⁴)⁵⁰=((-4)²)²⁵

(1-i)²⁰⁰=16²⁵.  

Answer 3

Hallo,

Aufgabe 3)

z^2= √(-3+4i) =(-3+4i)^(1/2)  |(..)^2

z^4= -3+4i

allgemein:

|z₁|= √((Realteil)^2 +(Imaginärteil)^2)

tan (φ)= Imaginärteil/Realteil

allgemeine Formel:  z_k= |z₁|^(1/n) * e ^(i(φ +2kπ))/n ; ist hier 4

k=0,1,2,3)

Lösungen:

Z₁ ≈ -0.7862 + 1.2720 i
Z₂ ≈ -1.2720 -0.7862 i
Z₃ ≈ 0.7862 -1.2720 i
Z₄ ≈1.2720 +0.7862 i