B) Mit Teil a) i) erhalten wir (wir suchen hier eine obere Schranke für beliebige Ableitungsordnungen; nehmen also für die einzelnen Anteile von allen vier Ableitungsformeln das größte.)
$$ \left|f^{n+1}(x)\right| \leq 4 \cdot 4^{(n+1) / 4} \cdot e^{x} $$
Damit folgt für das Restglied
$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|R_{n, f}(x, 0)\right| \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 \cdot 4^{(n+1) / 4} \cdot x^{n+1} \cdot e^{x}}{(n+1) !}=0 $$
Das zeigt, dass \( f \) durch seine Talyorreihe (in a) berechnet) dargestellt werden kann.
ii) Wir nutzen die komplexe Exponentialfunktion und deren Zusammenhang mit cos. Es gilt \( e^{x} \cos (x)=\operatorname{Re}\left(e^{x} e^{i x}\right)=\operatorname{Re}\left(e^{(i+1) x}\right) \) und mit der Reihendarstellung der Exp-Funktion (s. Vorlesung)
$$ e^{(i+1) x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(i+1)^{k}}{k !} x^{k} $$
Daher gilt
$$ e^{x} \cos (x)=\operatorname{Re}\left(e^{(i+1) x}\right)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \operatorname{Re}\left((i+1)^{k}\right) \frac{x^{k}}{k !} $$
Nun gilt \( i+1=\sqrt{2} e^{i \frac{x}{4}} \) und, dank der Formel von Moivre, somit \( (i+1)^{k}=\sqrt{2} e^{k} e^{i \frac{\pi}{4} k} . \) Für den Realteil gilt \( \operatorname{Re}\left((i+1)^{k}\right)=\sqrt{2}^{k} \cos \left(\frac{1}{4} k \pi\right) . \) Somit ist die Taylorreihe an dem Entwicklungspunkt \( x_{0}=0 \) gegeben durch
$$ e^{x} \cos (x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{2}^{k} \cos \left(\frac{1}{4} k \pi\right)}{k !} x^{k} $$
Das \( f \) durch die Taylorreihe dargestellt wird, folgt bei dieser Variante direkt, da wir 'nur' eine Umformung der Reihendarstellung der Exp-Funktion vornehmen.
Warum gilt hier der erste Satz? $$ \left|f^{n+1}(x)\right| \leq 4 \cdot 4^{(n+1) / 4} \cdot e^{x} $$
Danke @Helmus
