Quadratische Ergänzung bei einer Gleichung

Question

wir besprechen zurzeit das Thema „Kreise und Kugeln im (dreidimensionalen) KOS“.

Bei einer Aufgabe muss, um den Mittelpunkt und den Radius eines Kreises zu berechnen, folgende Gleichung mithilfe der Quadratischen Ergänzung äquivalent umgeformt werden (Die Zahl nach der Variable ist immer der Index, alles andere sollte selbstverständlich sein): x1^2 + x2^2-6x1+4x2 = 3.

Diese Gleichung soll in die Kreisgleichung gebracht werden ((x1-m1)^2 + (x2-m2)^2 = r^2).

Leider bin ich mir nicht ganz sicher, wie das funktionieren soll. Kann mir jemand eventuell weiterhelfen?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

$$3=x_1^2+x_2^2-6x_1+4x_2$$$$\phantom{3}=(x_1^2-6x_1)+(x_2^2+4x_2)$$$$\phantom{3}=(x_1^2-6x_1+9-9)+(x_2+4x_2+4-4)$$$$\phantom{3}=(x_1-3)^2-9+(x_2+2)^2-4$$$$\phantom{3}=(x_1-3)^2+(x_2+2)^2-13$$$$\Rightarrow\quad(x_1-3)^2+(x_2+2)^2=16$$

Comments

Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort! Das hat mir sehr weitergeholfen :)

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Könnten Sie mir eventuell kurz beschreiben, wie Sie den Index und die Exponenten an den richtigen Stellen positioniert haben?

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Ich habe alle \(x_1\) und alle \(x_2\) in einer Klammer zusammengefasst. So entstehen 2 Klammern. Wegen$$\left(x\pm\frac{p}{2}\right)^2=x^2\pm px+\left(\frac{p}{2}\right)^2$$findest du die quadratische Ergänzung, indem du die Zahl vor dem \(x\) halbierst und dann quadrierst, vgl. \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\). Daher habe ich in der ersten Klammer \(\left(\frac{6}{2}\right)^2=9\) ergänzt und in der zweiten Klammer \(\left(\frac{4}{2}\right)^2=4\).

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Oh, Entschuldigung. Da habe ich mich schlecht ausgedrückt. Ich habe Ihren Rechenweg nachvollziehen können - mir ging es nur um die Schreibweise der Rechnung. Ich habe in meiner Anfrage den Index nicht unten positionieren können, sondern musste „x1“ bzw. „x2“ schreiben. Deshalb wollte ich Sie bitten, ob Sie mir eventuell beschreiben könnten, wie Sie die Rechnung so formatiert haben.

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Achso... Formeln setzt man zwischen \ ( und \ ), wobei zwischen dem Backslash und der Klammer kein Leerzeichen stehen darf. Innerhalb dieser "Klammern" wird

x_2 zu \(x_2\)

x^2 zu \(x^2\)

\frac{a}{b} zu \(\frac{a}{b}\)

Genaueres dazu findest du hier:

https://www.matheretter.de/rechner/latex

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Vielen, vielen Dank und Entschuldigung für die Missverständnisse!

Answer 2

ich schreibe es einmal mit x und y
x = x1
y = x2
dann reduziert sich die Schreiberei,

x^2 + y^2 -6x + 4y = 3
x^2 - 6x + 3^2 - 3^2 + y^2 + 4y + 2^2 - 2^2 = 3
( x - 3)^2 + ( y + 2 )^2 = 3 + 3^2 + 2^2
( x - 3)^2 + ( y + 2 )^2 = 16

( x - 3)^2 + ( y + 2 )^2 =  4 ^2

Hilft´s weiter ?

mfg Georg

Comments

Vielen Dank auch Ihnen, Georgborn :)

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Hallo

tieferstellten von Zahlen, wähle was du tieferstellen willst an, dann klicke oben über dem Eingabefenster auf X₂

 dann geht alles was du angewählt hast nach unten

auch etwa T_eets

lul

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"stellen", nicht "stellten"!

Der Frager wollte aber wohl eher wissen, wie $$A_{unten}^{oben}$$so geht.