Pythagoras in Körpern anwenden

Question

Aufgabe:

Auf einen Würfel mit der Kantenlänge a wird eine Pyramide mit der Körperhöhe h=a aufgesetzt.

Erstellen eine Formel, um x (x geht von der Spitze der Pyramide bis zu einer unteren Ecke des Würfel) zu berechen!

Berechne x, wenn a=5cm ist

Problem:

Ich habe eine Formel kreiert aber laut der Lösungsapp ist diese falsch.               Meine Formel: x = √2a² + (a√2/2)²      Wenn a 5 cm wäre, würde bei mir x ≈ 7,91cm lang sein.

Answer 1

x = √((a/2)^2 + (a/2)^2 + (2·a)^2) = √(4.5·a^2) = √4.5·a

Für a = 5 cm gilt also

x = √4.5·5 = 10.61 cm

Skizze

Hier solltest du erkennen, das du eigentlich nur die Raumdiagonale in dem roten Quader suchst.

Answer 2

$$ d^2= 2a^2\Rightarrow d^2/4=a^2/2$$

$$x^2=(d/2)^2+(2a)^2=d^2/4+4a^2=a^2/2+4a^2=9a^2/2$$

$$ x=3a/\sqrt{2}=1.5a\cdot \sqrt 2$$

$$ a=5\Rightarrow x\approx 10.6 $$

Answer 3

Hallo,

das rechtwinkliche Dreieck besteht aus den Katheten

d = Strecke von einem Eckpunkt (Boden)  des Würfels bis zum Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche:

\(d=\sqrt{0,5}\cdot a \)

e = Höhe vom Mittelpunkt des Bodens bis zur Spitze = 2a

Sei f die gesuchte Strecke, dann gilt

\(f^2=(\sqrt{0,5}\cdot a)^2+(2a)^2\)

\(f^2=0,5a^2+4a^2\)

\(f=\sqrt{4,5a^2}\)

Gruß, Silvia

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Danke euch allen!