Volumen und Oberfläche von Kugel, Kegel und Zylinder

Question

Aufgabe 9:

Eine Kugel, ein Kegel und ein Zylinde mit einem Radius von 5 cm sollen das gleiche Volumen besitzen.

a) Bestimme jeweils die Höhe von Kegel und Zylinder

b) Vergleiche die Oberflächen der drei Körper

Aufgabe 10:

Warum musste der Prinzessin die Kugel herunterfallen, wenn sie wirklich aus purem Gold wäre?

Erörtere verschiedene Möglichkeiten, sodass die Prinzessin mit der goldenen Kugel spielen könnte.

Problem/Ansatz:

ich verstehe die beiden Aufgaben gar nicht, könnt ihr mir bitte helfen? Wäre euch echt dankbar

Answer 1

Leider ist das Foto seitlich abgeschnitten.

zu 9) V_zylinder=25πh_z; V_Kegel=1/3·25πh_k . Dann ist h_z=1/3h_k .

Soweit ich die Aufgabe lesen konnte, lässt sich nur eine Beziehung zwischen den Höhen errechnen. Das Gleiche gilt für ihre Oberflächen.

Answer 2

Hallo,

nehme doch einfach die Formeln für Kugel, Kegel und Zylinder:$$V_{Kugel} = \frac 43 \pi r^3 \\ V_{Kegel} = \frac 13 h_K \pi r^2 \\ V_Z = h_Z \pi r^2$$wenn nun \(V_{Kugel} = V_{Kegel} = V_Z\) sein soll, so setze das einfach gleich$$\begin{aligned} V_{Kegel} &= V_{Kugel} \\ \frac 13 h_K \pi r^2  &=\frac 43 \pi r^3 \\ \frac 13 h_K &= \frac 43 r  \text{cm}\\ h_K &= 4r = 20 \text{cm}\end{aligned}$$Die Höhe \(h_K\) des Kegels muss also 4-mal so lang, wie der Radius sein.$$\begin{aligned}V_Z &= V_{Kugel} \\ h_Z \pi r^2 &= \frac 43 \pi r^3 \\ h_Z &= \frac 43 r \approx 6,67 \text{cm}\end{aligned}$$Die Höhe \(h_Z\) des Zylinders muss also \(4/3\) -mal so groß sein, wie der Radius \(r\) der Kugel bzw. des Zylinders.

zu Aufgabe 10) weil sie sehr schwer ist. Die spezifische Masse von Gold ist 19,3 g/cm³. Damit ergibt sich eine Masse \(m_K\) der Kugel von $$m_K = 19,3 \frac{\text g}{\text{cm}^3} \cdot 523,6 \text{cm}^3 \approx 10,1 \text{kg} $$

Gruß Werner