Dritte Wurzel aus negativer Zahl möglich oder nicht?

Question

Ich bin Kunde bei Matheretter und habe eine Frage zu dem Video G20 Wurzeln (Teil 3).

Dort wird die dritte Wurzel aus -27 berechnet mit x = -3, da (-3)·(-3)·(-3). Unter der Wurzel werden meines Wissens aber keine negativen Zahlen zugelassen.

Dass x^{3} = -27 trotzdem eine Lösung hat, wird meiner Meinung nach mit folgendem Trick gelöst: Das Minus wird vor die Wurzel gezogen "Minus 3. Wurzel aus 27".

Sonst alles Bestens. Weiter so!

Answer 1

Das hast du falsch verstanden. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind immer zugelassen.

Du musst das so sehen: Die n-te Wurzel aus stellt dir die Frage: Welche Zahl a ergibt n-mal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel?

z.B. 2te Wurzel aus 9. Welche Zahl ergibt zwei mal mit sich selbst multipliziert 9? Klar, das ist die 3, weil 3 * 3 = 9. Aber die 2te Wurzel aus -9 stellt dieselbe Frage. Welche Zahl ergibt zwei mal mit sich selbst multipliziert -9? Da gibt es keine! Denn (-3) * (-3) = 9 und 3 * 3 = 9. Man könnte ja (-3) * (+3) schreiben, das wäre -9, ABER (-3) und (+3) sind NICHT dieselbe Zahl. Also gibt es keine Zahl, die zwei mal mit sich selbst multipliziert -9 ergibt. Deswegen ist die 2te Wurzel aus -9 auch nicht definiert.

Wenn aber die 3te Wurzel aus -27 berechnet werden soll, stellt sich wieder die Frage: Welche Zahl ergibt DREI mal mit sich selbst multipliziert -27? Und dort gibt es eine Lösung. Denn (-3) * (-3) * (-3) = (+9) * (-3) = -27. Also hat die dritte Wurzel aus -27 eine Lösung.

Allgemein haben ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen immer eine Lösung, aber gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht definiert.

Answer 2

Das ist so eigentlich nicht richtig.

Die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert, völlig gleichgültig, welchen Wert n hat.

Richtig ist aber, dass die Gleichung

x³=-8

eine Lösung hat, anders als z.B. die Gleichung

x²=-4

Die Lösung der ersten Gleichung schreibt man aber als

$$ - \sqrt [ 3 ] { 8 } $$

und nicht anders.

Comments

"Das ist so eigentlich nicht richtig." -> Welche Aussage meinst du?

Dass die n-te Wurzel nicht definiert ist, höre ich zum ersten Mal (für n ungerade). 

Im Taschenrechner kann ich doch eingeben: (-8)^{1/3} und da kommt -2 raus.

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Was du in deinen Taschenrechner eingeben kannst, und was definiert ist, sind zwei unterschiedliche Hüte :-)
Auch wenn in diesem Fall tatsächlich die richtige Lösung herauskommt.

 

Die Verwendung der ungeraden Wurzeln negativer Zahlen verstößt außerdem gegen ein Potenzgesetz und ist deshalb meiner Meinung nach nicht sinnvoll. Natürlich kann man sie "zwanghaft" definieren und fordern, dass das entsprechende Gesetz für sie nicht gilt, aber ich sehe keinen Grund dazu.

Das Gesetz, das ich meine:

 

-2 = (-8)^1/3 = (-8)^2/6 = ((-8)²)^1/6 = 64^1/6 = +2

Offensichtlich gilt nicht -2=+2, also muss irgendwo ein Fehler vorliegen: da 1/3 und 2/6 aber genau denselben Zahlenwert repräsentieren und die Gültigkeit des Potenzgesetzes

x^a*b = (x^a)^b

meiner Meinung nach (und auch nach der Meinung der meisten Mathematiker) wichtiger ist, kann der Ausdruck (-8)^1/3 nicht definiert sein, da er dann zwei unterschiedlichen Werten entspräche.

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Das Thema ist zwar über 12 Jahre alt, dennoch bleibt die Frage ja spannend....

Also: die n.-te Wurzel einer negativen Zahl ist möglich, wenn n ungerade ist.

Aber wo liegt nun der Fehler im letzten Kommentar, wo ja mit dem Widerspruchsbeweis gearbeitet wurde. -2 = 2 ???!!!

Der Fehler steckt im Detail, das schnell übersehen wird. In manchen Fällen muss die Basis bei den Potenzen größer gleich null sein. Es gilt:

Das Potenzgesetz   ( a^1/n)^m = ( a^1/m)ⁿ ist nur erlaubt für a größer gleich 0 !

nachzulesen etwa in Kusch, Mathematik 1, Arithmetik und Algebra, 2000, Berlin, 15. Auflage, Seite 163.

Auch ist    (a)^1/n x (b)^1/n = (ab)^1/n nur für a, b größer gleich 0 erlaubt.

(ebda., Seite 160)

Aus den beiden Vorgaben ergibt sich, dass der angebliche Widerspruchsbeweis so nicht geführt werden kann.

Und natürlich ist (-8)^1/3 = -2 , was man so auch schreiben kann. Man schaue sich nur den Funktionsgraphen von f(x)= (x)^1/3 an.

Aber: es war eine interessante Fragestellung, bei der ich auch etwas dazu gelernt habe.

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vgl.

https://www.ruhr-uni-bochum.de/mathe-wiwi/skripte/wurzel

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen

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Und natürlich ist (-8)1/3 = -2 , was man so auch schreiben kann. Man schaue sich nur den Funktionsgraphen von f(x)= (x)^1/3 an.

Na das ist ja ein "starkes" Argument!

Nur weil Softwareentwickler Funktionsgraphen möglich machen, die im Widerspruch zur anerkannten Definition stehen ...

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naja, Funktionsgraphen konnte man auch schon ohne Softwareentwickler erstellen :-)

Der Hinweis sollte auch kein Argument sein, sondern lediglich der Veranschaulichung dienen.

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naja, Funktionsgraphen konnte man auch schon ohne Softwareentwickler erstellen :-)

Und wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall nicht definiert ist, kann man da auch keinen Funktionsgraphen zeichnen.

Wenn du eine allgemein anerkannte Funktionsdefinition ignorierst und und dir deine eigene "widiwidiwi-ich-mach-mir-die Welt-wie -es-mir-gefällt"-Welt erschaffst, ist das Verweisen auf deine (persönlich herbeigewünschten) Funktionsgraphen einfach nur lächerlich.

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Wenn Du meiner eigentlichen Argumentation mit Verweis auf mathematische Fachliteratur nicht folgen willst (oder kannst), dann kann ich Dir hier auch nicht weiterhelfen.

Noch einmal: ich argumentiere hier nicht mit dem Definitionsbereich einer Funktion.

Und was die Verweise von simple mind anbetrifft:

a) Script der Ruhr-Uni:

wo wird hier ein wissenschaftlicher Bezug hergestellt? Kein Autor, nur persönliche Meinungen. Und in der Einleitung steht die Einschränkung ("im Mathematikunterricht auf Schulniveau").

In diesem Script werden Scheinbeweise angeführt, die inhaltliche Fehler aufweisen und so mathematisch nicht korrekt geführt werden können. Die Fehler mögt ihr bitte selber suchen, mir ist es zu lästig, diese im Detail darzustellen.

Und: Seit wann bestimmen persönliche Meinungen und Empfehlungen die Grundlagen der Mathematik?

Das Script, davon bin ich überzeugt, wurde nicht von einem Mathematiker erstellt, eher von einem Lehramtsstudenten einer Lehramtsstudentin:

Ich zitiere:

"Um es vorweg zu nehmen: Ich plädiere trotzdem für Meinung(I), obwohl
(1) es mathematisch falsch ist (man kann Widersprüche konstruieren, siehe unten),
(2) es der DIN 1302 widerspricht,
(3) das Vermitteln und Anwenden der Potenzregeln dadurch aufwendiger wird"

(1) - Beweise sind falsch geführt

(2) - seit wann bestimmt eine Normkommission, an der keine echte mathematische Instanz beteiligt ist, die Grundlagen der Mathematik? Die Mathematik ist älter als die Einführung einer DIN :-)

(3) - hierum geht es offenbar wirklich: Potenzregeln möglichst einfach, wenn auch mathematisch inkorrekt (oder bewusst eingeschränkt), zu vermitteln.

b) Wikipedia

Wikipedia ist keine absolut verlässliche Quelle. Man sollte dann schon mathematische Lehrbücher heranziehen. (Eine Verwendung von Wikipedia in wissenschaftlichen Arbeiten ist absolut verpönt.)

Aber auch in dem zitierten Wikipedia Beitrag wird bei genauem Hinsehen auf die von mir genannte Einschränkung, die im mathematischen Lehrbuch von Kusch beschrieben ist, hingewiesen. Wenn man diese allerdings partout ignorieren möchte, kommt halt mathematischer Unsinn (= unsinnige Aussagen) heraus.

Da mir die mangelnde Fähigkeit oder der mangelnde Willen zu einer fachlichen Diskussion fehlt und der Ton (hier speziell Abakus) eher verletzend ist, verabschiede ich mich hiermit aus dieser Diskussion.

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Und natürlich ist (-8)^(1/3) = -2 , was man so auch schreiben kann. Man schaue sich nur den Funktionsgraphen von f(x)= (x)^(1/3) an.

Und wo genau ist das mathematisch? Für mich ist \(\sqrt[n]{x}\) nur für \(x\geq 0\) definiert und somit ist auch die angegebene Funktion nur dort definiert. So "natürlich" wie es du es schreibst, ist es also nicht. Und genau das wurde hier kritisiert. Eine Veranschaulichung heranzuziehen, die also mathematisch schlicht nicht korrekt ist, sehe ich da ebenso problematisch.

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Zum letzten Mal eine Antwort, weil der Punkt offenbar nicht verstanden wird.

Ich argumentiere nicht mit dem Funktionsgraphen. Schau Dir meinen Beitrag an, wo ich die Potenzgesetze mit Verweis auf Kusch, Mathematik 1, anführe, und versuche, diese zu verstehen.

"Für mich ist... nur für x>0 definiert."  Das mag für Dich persönlich gelten, spiegelt aber nicht die Mathematik wider.

Und auch ich stelle nicht die Regeln auf. Nach Studium der höheren Mathematik an der Uni Köln (der Verweis muss jetzt offenbar langsam mal sein), beachte ich allerdings die mathematischen Grundsätze und Regeln.

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Hast du schon mal eine KI befragt? Vlt. kommt zumindest eine Anregung oder neuer Gedanke, Aspekt o.ä. ins Spiel.

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@hoherb Du hast völlig recht. Es steht übrigens bei wikipedia korrekt, dass es keine einheitliche Def. gibt. Natürlich gibt es u.U. Probleme mit Rechenregeln, steht auch dort.

Skripte sind mit Vorsicht zu genießen, werden auch schonmal von Hiwis geschrieben. Und Skripte mit "wiwi" in der URL erst recht.

Und DIN-Normen sind keine math. Definitionen. Man muss sich nicht daran halten. Laut DIN gehört auch 0 zu den natürlichen Zahlen und viele (die meisten) Mathematiker handhaben das anders.

Also, immer den jeweiligen Kontext beachten - es mag in der einen Lehrveranstaltung so gemeint sein, und in einer anderen anders. Und das ist völlig ok.

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Skripte sind mit Vorsicht zu genießen, werden auch schonmal von Hiwis geschrieben.

Und wer haftet, wenn sie falsch informieren?

es mag in der einen Lehrveranstaltung so gemeint sein, und in einer anderen anders. Und das ist völlig ok.

Was kann daran sein, wenn der eine so, der andere so sagt? Gerade in der Mathematik sollte man sich auf Definitionen verlassen können, oder? Oder darf im Zweifel jeder nach Gutdünken definieren, vlt. dieselbe Person zu selben Themen in verschiedenen Veranstaltungen mal so, mal so?

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Ich argumentiere nicht mit dem Funktionsgraphen.

Stimmt. Aber du sagst:

Und natürlich ist (-8)^(1/3) = -2 , was man so auch schreiben kann.

und unterstützt diese Aussage mit der Erwähnung des entsprechenden Funktionsgraphen, was man zu Recht kritisieren kann. Wenn die Definition - laut Wikipedia zumindest - nicht einheitlich ist, wie kommst DU dann zu dieser Aussage. Das spiegelt ja dann letztendlich auch nur DEINE Meinung wider, was nach deiner Aussage ja nicht mathematisch ist. Oder spiegelt deine Meinung die Mathematik wider? Wenn ja, warum? Bzw. was spiegelt denn die Mathematik überhaupt wider? Darauf gehst du komischerweise nicht ein, würde mich aber natürlich interessieren.

Genau diese Definition führt dazu, dass die Potenzgesetze schiefgehen, eben da sie nicht für negative Basen gelten. Zumindest das ist ein Argument dafür, diese Definition eher nicht gelten zu lassen und stattdessen bei rationalen Exponenten nur positive Basen zuzulassen, inklusive 0.

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Zum letzten Mal eine Antwort, weil der Punkt offenbar nicht verstanden wird.

Ich argumentiere nicht mit dem Funktionsgraphen. Schau Dir meinen Beitrag an, wo ich die Potenzgesetze mit Verweis auf Kusch, Mathematik 1, anführe, und versuche, diese zu verstehen.

"Für mich ist... nur für x>0 definiert."  Das mag für Dich persönlich gelten, spiegelt aber nicht die Mathematik wider.

Ergänzung:

Als Ergänzung gehe ich nun doch auch einmal auf den Funktionsgraphen ein.

Bekannt dürfte ja sein, dass jede streng monotone Funktion umkehrbar ist. Der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist dann der Definitionsbereich der Umkehrfunktion.

Betrachte f(x) = x³   

Diese ist auf ganz R definiert, der Wertebereich von f ist R.

Diese Funktion f ist also umkehrbar und die Funktionsvorschrift der Umkehrfunktion lautet: f^-1 (x) = x^1/3  .  Der Definitionsbereich ist ganz R.

Im speziellen gilt dann (natürlich) auch hier. f^-1  (-8) = (-8)^1/3 = -2.

Das war es nun aber endlich mit meinen Kommentaren zu diesem Thema hier.