Undefinierte Begebenheiten bei Ableitungen

Question

Funktionen haben oftmals undefinierte punkte wie die Funktion x/x oder x^x bei der Stelle 0

Doch da gibt es noch die LambertW Funktion

Sie ist meines erachtens für die Stelle 0 definiert weil es gilt:  0*e^0 = 0

Alles fein bis jetzt. Leitet man die Funktion jedoch ab so bekommt man an der Stelle x = 0 eine undefinierte Lösung, genauer gesagt 0/0

Doch ohne Zweifel hat die LambertW Funktion eine Steigung an punkt 0

Sollte man also den Limeswert für x gegen 0 der Ableitung als Steigung verwenden, bzw. den Funktionsverlauf der Ableitung im Kontext betrachten und dann definieren?

Sorry falls ich mich unklar ausgedrückt habe

Answer 1

Zunächst mal ist

f(x) = x·e^x

nur die Umkehrfunktion zur Lambertschen W-Funktion

Es gilt f(0) = 0 und damit auch f^{-1}(0) = 0

die Ableitung ist

f'(x) = e^x·(x + 1)
f'(0) = e^0·(0 + 1) = 1

Damit hat die Lambertsche W-Funktion im Ursprung auch die Steigung 1.

Comments

Ich rede ja auch nicht von x* e^x sondern eben von der W Funktion. Das beispiel 0 * e^0 = 0 war nur dazu da um zu zeigen das W(0) = 0 gilt und somit W(0) definiert ist

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Ja. Und die Ableitung ist dort auch definiert. Wie kommst du auf 0/0?