Stellenwertsystem zur Basis b

Question

Aufgabe:

6.) Sei \( b \in \mathbb{N}, b \geq 2 . \) Geben Sie die Zahl ( \( b+1 \) ) \( ^{2} \) im Stellenwertsystem zur Basis \( b \) an.

Problem/Ansatz:

Wie darf ich mir das Vorstellen? Muss ich mir ein b aussuchen?

Comments

Okay bin jetzt auf 1 * b^2 + 2 * b^1 + 1 * b^0 gekommen, also 121?

Wäre b^n - 1 dann z.B. 1 * b^n + 0 * b^(n-1) + ... -1 * b^0 ?

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bⁿ - 1 ist leicht darzustellen:

Denke an die Beispiele mit der gewohnten Basis zehn:

10³ - 1 = 999  (3 mal die Ziffer 9)

10¹⁶ - 1 = 9999999999999999  (16 mal die Ziffer 9)

10ⁿ - 1 = 99.....999  (n mal die Ziffer 9)

Bei einer beliebigen ganzzahligen Basis b mit b ≥ 2 :

bⁿ - 1 =   <pp.....ppp>_b  (n mal die Ziffer p , wobei p = b-1 die größte mögliche Ziffer im Stellenwertsystem zur Basis b ist) 

Answer 1

b>2:

(1+b)^2=1+2b+1b^2 → (121)_b

Da es im Zweiersystem keine Ziffer 2 gibt, gibt es (121)_2 nicht.

b=2:

(1+b)^2=(1+2)^2=3^2=9=(1001)_2

PS:

Bei (1+b)^n wären es die Binomialkoeffizienten. Dabei müsste natürlich geguckt werden, ob die Ziffer auch wirklich kleiner als die Basiszahl ist.

Answer 2

Wenn  z = (b + 1)²  ist, dann ist (binomische Formel):

z = b² + 2b + 1

Ist nun die Basis b mindestens gleich 3, so ist die Darstellung von z im System zur Basis b natürlich:

z = <121>_b

^{Den Fall mit der Basis  b = 2  muss man aber separat behandeln. Das kommt dann darauf hinaus, dass man die (Dezimal-) Zahl 9  im Binärsystem schreiben soll. Das wäre dann:}

^{z = <1001>}₂

Comments

Warum muss man b = 2 seperat behandel?

Und wie kommst du auf die 9 ?

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Warum muss man b = 2 separat behandeln?

Weil es im Stellenwertsystem zur Basis 2 die Ziffer 2 gar nicht gibt.

Und wie kommst du auf die 9 ?

Für b = 2 ist  z = (b + 1)² = (2 + 1)² = 3² = 9   (dezimal notiert)

Binär (im Zweiersystem notiert) wäre dies:

z = (b + 1)² = (<10>₂ + <1>₂)² = (<11>₂)² = <1001>₂