Summenzeichen vereinfachen / berechnen

Question

1. Aufgabe:

Ich soll folgende Summe ohne Summenzeichen schreiben bzw. wenn möglich die Summenwerte berechnen.

\( \sum \limits_{j=1}^{m} \sum \limits_{k=1}^{m} \delta_{j k} a_{j} a_{k} \) mit \( \delta_{j k}\left\{\begin{array}{ll}{1} & {\text { falls } j=k} \\ {0} & {\text { falls } j \neq k}\end{array}\right. \)

Würde hier dann nicht immer \( \delta_{j k}=1 \) gelten?

Und somit dann die Summe: \( 1 a_{1} a_{1}+\ldots+1 a_{m} a_{m} \)

2. Aufgabe:

Die folgende Summe soll vereinfacht werden, aber leider fällt mir kein möglicher Ansatz ein:

\( \sum \limits_{j=1}^{n} j^{2} x^{j}+\sum \limits_{k=0}^{n-1} 2\left(k+\frac{3}{2}\right) x^{k+1} \)

Answer 1

Würde hier dann nicht immer : δ_jk = 1 gelten?

Nein, nur wenn j = k ist. Es haben also nur die Faktoren δ_11, δ_{22, ... ,} δ_mm  den Wert 1

Bei der Summe, die du bestimmt hast, liegst du aber richtig. Sie lautet:

Summe = a₁a₁ + a₂a₂ + _... + a_ma_m = a₁²+ a₂²+ ... + a_m²

 

$$\sum _{ j=1 }^{ n }{ { j }^{ 2 }{ x }^{ j } } +\sum _{ k=0 }^{ n-1 }{ 2(k+\frac { 3 }{ 2 } ){ x }^{ k+1 } }$$

Indextransformation in der zweiten Summe:

$$=\sum _{ j=1 }^{ n }{ { j }^{ 2 }{ x }^{ j } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ 2((k-1)+\frac { 3 }{ 2 } ){ x }^{ k } }$$

Umbenennung der Laufvariablen in der ersten Summe:

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 }{ x }^{ k } } +\sum _{ k=1 }^{ n }{ 2((k-1)+\frac { 3 }{ 2 } ){ x }^{ k } }$$

Beide Summen unter einem gemeinsamen Summenzeichen zusammenfassen (das entspricht einer Umordnung der Summanden):

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 2 }{ x }^{ k } } +2((k-1)+\frac { 3 }{ 2 } ){ x }^{ k }$$

x^k ausklammern:

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ k }^{ 2 } } +2(k-1)+3{ )x }^{ k }$$

Summanden ausmultiplizieren und zusammenfassen:

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ ({ k }^{ 2 } } +2k+1{ )x }^{ k }$$

Den Summanden mit Hilfe der ersten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { { (k+1) }^{ 2 }{ x }^{ k } } }$$